Intégrale curviligne et Circulation

[Cryptocatron-11]

Bonsoir,

Est ce que l'intervalle curviligne le long d'une courbe C est égale à la circulation le long de C ?

Je sais qu'il y en a un qu'on utilise pour le champ sclaire et l'autre pour le champ vectoriel . Mais est ce que ces intégrales valent la même valeurs ?

[Skullkid]

Salut, la question n'est pas très claire... Comme tu l'as dit, on ne fait circuler que des champs vectoriels, alors qu'on peut intégrer des champs aussi bien vectoriels que scalaires le long d'un chemin. Si je me donne un champ vectoriel X sur un chemin gamma, tu veux comparer la circulation de X à l'intégrale de quel champ scalaire ?

[Cryptocatron-11]

tu veux comparer la circulation de X à l'intégrale de quel champ scalaire ?

bah de la fonction f : celle d'ou dérive le champ vectoriel.
Cette fonction associe un nombre à chaque point de (x,y) de A ( avec A inclus dans R²)

[Skullkid]

Dans ce cas c'est non. Par exemple tu prends f(x,y) = 1 un potentiel scalaire constant : le champ vectoriel dérivé est identiquement nul mais l'intégrale de f sur une courbe n'a aucune raison de l'être. De plus, il existe des champs vectoriels qui ne dérivent pas d'un potentiel scalaire (exemple typique en physique : le champ magnétique).

En revanche, si f est un champ scalaire, on a où a et b sont les extrémités du chemin : la circulation du champ dérivé s'exprime facilement, sans intégrale, à l'aide de f, ce qui n'est pas très surprenant puisque f est un genre de primitive.

[Cryptocatron-11]

En faisant l'analogie en physique, f ça peut être la fonction potentiel que je préfère appelé V.
Et E = - grav V c'est le champ éléctrique c'est un champ de vecteur qui dérive d'un potentiel.

Quand je fais qui est un porduit sclaire , j'obtiens bien V(a)-V(b). Or V(a)-V(b) je croyais que c'était aussi égale à l'intégrale curviligne de la forme différentielle dV de a à b.

-grad V (x,y) est un vecteur et dl=(dx,dy) un autre vecteur donc en faisant le produit de ces deux vecteurs on obtient un produit scalaire (travail pour une charge unité en physique)

mais l'intégrale de f sur une courbe n'a aucune raison de l'être

Si je comprend bien, l'intégrale curviligne dont tu croyais que je parlais était celle qui revient à intégrer la fonction potentiel V ? c'est a dire avec V et dl des scalaires

[Skullkid]

Quand on parle de l'intégrale d'une fonction suivant une courbe, c'est de l'intégrale de cette fonction qu'on parle, pas de l'intégrale de sa dérivée ou de sa différentielle. Aussi, faut faire gaffe si tu veux utiliser des notations de physique dans un cadre purement mathématique, surtout au niveau des dépendances par rapport aux variables.

En prenant les notations habituelles en physique, oui, on a bien , ça découle directement de la définition du gradient qui dit (avec des notations physiques, encore une fois) que , mais ça n'a rien à voir avec l'intégrale curviligne de V.

[Cryptocatron-11]

En prenant les notations habituelles en physique, oui, on a bien

Donc si je parle de l'integrale curviligne de la différentielle dV alors je peux dire qu'elle est égale à la circulation du champ E qui dérive de V ?

[Skullkid]

Oui, là c'est juste (mais juste histoire d'être tatillon : une forme différentielle, en maths, c'est pas un champ scalaire).