Injectivité

[mehdi-128]

Bonsoir,

Si on note la base canonique de .
Soit l'endomorphisme de E espace vectoriel défini par :



Où :

Avec : et une permutation de Sn

Montrer que l'application : est injective.

Je fais :

Donc :

Ensuite je bloque.

Merci.

[pascal16]

si les epsilon sont de même signe, tu peux conclure pour cette coordonnée.

si les epsilon sont de signe opposés, tu dois pourvoir dire que c'est pas possible car 2 vecteurs d'une base ne peuvent pas êtres liés.

[mehdi-128]

Merci Pascal j'ai compris.

[mehdi-128]

Je dois aussi montrer que l'ensemble des endomorphismes est un groupe fini et déterminer son cardinal.

* Je sais que le noyau de est réduit à {0} donc cette application est injective.

* Je sais que :

* Je dois déterminer : comment faire ?

[pascal16]

peut-être regarder ce qui peut être une base pour des permutations (des permutations 2 à 2 de type e_n->e_{n+1} par exemple).

[mehdi-128]

On peut pas utiliser que en dimension finie : injectif est équivalent à bijectif alors la dimension de l'ensemble de départ est égale à celle de l'ensemble d'arrivée ?

[mehdi-128]

Les colonnes des matrices relatives à l'endomorphisme u on remarque que leur colonnes forment une base :



Avec ou et

Ca permet de conclure ?

[Ben314]

Salut,

* Je dois déterminer : ????? ...

Je comprend pas ce que tu bricole avec ton :
- Pour et donnés, c'est un endomorphisme et ça a pas de sens de parler de la dimension d'un endomorphisme.
- L'ensemble de tout les c'est un groupe (c'est ce que tu doit démontrer), et de nouveau, ça a pas de sens de parler de la dimension d'un groupe.

Sinon, concernant le fait que le cardinal de l'ensemble des endomorphismes , c'est le même que le cardinal des couples , c'est à dire , ça résulte directement de l'injectivité de la fonction .

Par contre, ce qu'on te demande de montrer, c'est que cet ensemble est un groupe. Et comme il est contenu dans le groupe connu GLn(R) [pourquoi ?], il sufit de montrerque c'est un sous groupe de GLn(R), c'est à dire que cet ensemble est non vide, stable par composition et stable par passage à l'inverse (pour la composition bien sûr).

[mehdi-128]

Désolé de revenir dessus longtemps après.

Soit ISOM(N) l'ensemble des N isométries.

On avait montré que (ISOM(N),o) où N désigne une norme sur E est un sous groupe de GL(E) donc ça marche bien Isom(p) est bien un groupe : le groupe des p-isométries pour la norme p avec p différent de 2.

Par contre j'ai toujours pas compris pourquoi l'application est bijective. On sait juste qu'elle est injective.

[capitaine nuggets]

Salut !

c'est un endomorphisme