Injectivité

par **Victhemath** » 11 Nov 2013, 17:36

Bonsoir, comment montre-t-on que :

De l'ensemble C\(i) à l'ensemble C : (z+i)/(z-i) est injective ?

par **jlb** » 11 Nov 2013, 18:22

Victhemath a écrit:Bonsoir, comment montre-t-on que :

De l'ensemble C\(i) à l'ensemble C\{1} : (z+i)/(z-i) est injective ?

en résolvant (z+i)/(z-i)=u en fonction de z et en montrant que pour chaque valeur de C\{1}, il existe un unique antécédent dans C\{i}

par **capitaine nuggets** » 11 Nov 2013, 18:34

Victhemath a écrit:Bonsoir, comment montre-t-on que :

De l'ensemble C\(i) à l'ensemble C : (z+i)/(z-i) est injective ?

Considère l'application

définie par

.
Pour montrer l'injectivité, montre que pour

par **Victhemath** » 11 Nov 2013, 18:39

je dois résoudre mon équation du second degré :

(z²+2iz-1)/(z²+1)=y

Par le produit en croix puis par la résolution de z²(1-y)+2iz-1-y ?

par **jlb** » 11 Nov 2013, 18:49

Victhemath a écrit:je dois résoudre mon équation du second degré :

(z²+2iz-1)/(z²+1)=y

Par le produit en croix puis par la résolution de z²(1-y)+2iz-1-y ?

tu te compliques la vie, produit en crois dès le début!!!! z+i=u(z-i)=uz-ui d'où z-uz=-ui-i soit z(1-u)=-i(u+1) et pour u diff de 1, z=-i(u+1)/(1-u)

Il y a donc un antécédent unique pour u dans C\{1}

par **Victhemath** » 11 Nov 2013, 22:50

capitaine nuggets a écrit:Considère l'application définie par .
Pour montrer l'injectivité, montre que pour

Gagné ! Merci encore pour vos réponses, les maths triomphent toujours :popcorn:

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