Injection, surjection et bijection

[xNiicO]

Bonsoir,

J'ai un problème sur ces termes, le plus simple étant la Bijection que j'ai compris, faut dire que c'est pas très très dur à comprendre.

Mais concernant l'injection et surjection, c'est la première fois que je vois ça et j'ai du mal à comprendre honnêtement.

Je voudrais avoir une définition pour la surjection, sur internet je trouve pas mon bonheur, je voudrais vous donner un exemple :

Sur un de mes exercices j'ai comme réponse ça :

-> I = ]0 ; Pi/2[, f(I) = ]0 ; +inf[ = J

Je l'ai trouvé ça par moi-même mais la ou je planche c'est de savoir en quoi ça c'est une surjection !

Maintenant concernant l'injection je sais que : f(x) = f(x') -> x = x'
Mais quand ça on peut pas le prouver, peut-on dire que si f(x) définit sur I et qu'on peut avoir f'(x) sur I aussi, si on trace les variations de f(x) sur I et que f(x) est strictement monotone sur I alors f(x) est une injection sur I ?

Merci d'avance

[Archibald]

Sans le savoir, tu es en train de citer le théorème de la bijection (c'est un corollaire du TVI (théorème des valeurs intermédiaires) :

Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle de bornes et (finies ou infinies), pour tout réel strictement compris entre les limites de f en et en , il existe un unique tel que , autrement dit l'équation admet une unique solution dans .

voir ici pour de plus amples informations : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_bijection

[Losange]

Maintenant concernant l'injection je sais que : f(x) = f(x') -> x = x'
Mais quand ça on peut pas le prouver, peut-on dire que si f(x) définit sur I et qu'on peut avoir f'(x) sur I aussi, si on trace les variations de f(x) sur I et que f(x) est strictement monotone sur I alors f(x) est une injection sur I ?

Toute fonction strictement monotone est injective.

Voici une preuve pour f strictement croissante sur I.
Soit x et x' dans I tels que f(x)=f(x').

Par l'absurde, supposons que x et x' sont différents.
Si xx' alors f(x)>f(x') ce qui contredit f(x)=f(x').
D'où au final x=x'.

Donc f est injective.

Sans le savoir, tu es en train de citer le théorème de la bijection (c'est un corollaire du TVI (théorème des valeurs intermédiaires)

Plus précisément, il redémontre une partie du théorème de la bijection.
Dans le théorème de la bijection, l'hypothèse de continuité permet de démontrer la surjectivité. Et l'hypothèse de stricte monotonie démontre l'injectivité.
D'où au final la bijectivité.

Le théorème de la bijection est non-trivial, tandis que l'injectivité des fonctions strictement croissantes est évidente.