Notion Injection Surjection Bijection

[emmanuel 68]

Bonjour à tous,

J'aimerais simplement vous poser une petite question.

N'ayant pas fait de bac général, je n'ai jamais trop vu la signification des notions d'injection, surjection et bijection.

Je suis donc allé faire un tour sur leur définition respective.

Et là, je me pose une question. On sait qu'une fonction est une injection si:

f(x) = f(x') impliquant x = x'

Cela voudrait donc dire qu'une fonction paire n'est pas injective?! Vu qu'une fonction est paire si f(x) = f(-x) et x pas = -x


Et donc, par conséquence, une fonction paire ne sera jamais une bijection....

C'est bien cela?

[charlol]

oui c'est juste

[emmanuel 68]

Ok merci beaucoup à vous, donc mon raisonnement est bon alors.

Par contre, si je peux encore me permettre, au niveau de la surjection (juste pour être bien sur).

On dit que, par exemple f(x)=x² n'est pas une surjection, car x²=-1 (par exemple), donc si x est définie sur R, f(x), lui, ne sera définie que sur R+ ce qui expliquerait que x² n'est pas une surjection quand il est définie sur R?!

Et donc, à l'identique, e(x) n'est pas surjection non plus alors.....

[Joker62]

Attention, une fonction dépend de son ensemble d'arrivé et de son ensemble de départ.

Ainsi la fonction de R dans R qui a x associe x^2 est différente de la fonction de R dans R+ qui a x associe x^2

Etre surjective, revient à dire qu'à tout élément y de l'espace d'arrivé, il existe au moins un élement x dans l'ensemble de départ qui soit tel que f(x) = y

Dans les deux fonctions citées précédemment, la première n'est pas surjective car -1 ne possède pas d'antécédent, tandis que la deuxième l'est.

D'où l'intérêt de bien définir les fonctions.

[axiome]

N'ayant pas fait de bac général, je n'ai jamais trop vu la signification des notions d'injection, surjection et bijection.

Juste pour dire, ce n'est pas au programme du bac général, chez moi on étudie ça en L1...

[emmanuel 68]

Attention, une fonction dépend de son ensemble d'arrivé et de son ensemble de départ.

Ainsi la fonction de R dans R qui a x associe x^2 est différente de la fonction de R dans R+ qui a x associe x^2

Etre surjective, revient à dire qu'à tout élément y de l'espace d'arrivé, il existe au moins un élement x dans l'ensemble de départ qui soit tel que f(x) = y

Dans les deux fonctions citées précédemment, la première n'est pas surjective car -1 ne possède pas d'antécédent, tandis que la deuxième l'est.

D'où l'intérêt de bien définir les fonctions.

OK, j'ai capté! Si on dit on a f(x) = x² définie sur R, -1 est un élément de départ, mais PAS d'arrivé, donc cette fonction n'est pas surjective.

Par contre, si on change le domaine, et qu'on défini maintenant cette fonction sur R+, là elle devient surjective....

Et donc, e(x) n'est pas surjective sur R car x=-6 est un élément d'entrée, sans être un élément de sortie.

Es-tu ok?

PS: Axiome, ok, ce qui prouve bien que je n'ai pas fais le bac général lol.

[Antho07]

n'est pas surjective.



est surjective.


La surjectivité c'est:

Tout element de l'ensemble d'arrivé admet au moins un antecedant dans l'ensemble de départ

[Joker62]

Non tu captes pas :)
on va dire ça :

On se donne une fonction f : A ---> B
Donc de A à valeur dans B

Elle est surjective si quand je prend n'importe quel élément y de B, je peux trouver au moins un x dans A tel que f(x) = y

Il faut toujours précisé ton ensemble d'arrivé et celui de départ

f(x) = x^2 définie sur R à valeur dans R+ est surjective car si je prend n'importe quel réel positif, je peux trouver au moins un élement de R qui soit un antécédent ( +/- Racine carré )

Pour la fonction exponentielle définie de R dans R, elle n'est pas surjective car tout les réels négatif ou nul ne sont pas atteint par la fonction.

Par contre exp : R ---> R+* = R+\{0} est surjective car pour tout y positif non nul, un antécédent de y est ln(y) (e(ln(y)) = y

[emmanuel 68]

ok....

C'est pas si évident que ca alors à comprendre..... Je pense avoir compris.....

Mais je dois dire que je reste sur ma première impression, si x² est définie sur R alors c'est pas surjectif, car l'ensemble de départ comprends des nombres négatifs qui ne sont pas compris dans l'ensemble d'arrivé...

Mais tu sembles dire que c'est pas çà!!!

Je vais encore bien étudier ça......

[Antho07]

Je poste dans 15 min 3 petits dessins qui t'aiderons à comprendre ces notions là (du moins je l'espère)

[emmanuel 68]

Hé ben, en tout cas merci beaucoup à vous pour votre aide précieuse! :we:

[Antho07]

Voilà comment on pourrait représenter :
-une injection de A dans B
les points sont des elements, les fleches représente f.



-une surjection de A dans B



-Une bijection de A dans B

[emmanuel 68]

Ma connexion bloque l'accès aux images.

J'analyse tout ça ce soir! Merci pour votre aide à tous!

[Antho07]

On voit que dans le cas de l'injection, chaque élement du premier ensemble est envoyé sur un élement différent du deuxieme.

Autrement si f(x)=f(y) , alors x=y.

Par contre, il y a des elements du deuxieme qui n'admettent aucune antecedent


On voit dans le cas d'une surjection , tous les elements de l'ensemble d'arrivé admettent au moins 1 antécédant par f (ici 2 elements ont 2 antecedants).

Dans le cas d'une bijection, chaque element du premier est envoye sur un element different du deuxieme, et chaque element du deuxieme admet un antecedant.
(bijection=injection et surjection)

[emmanuel 68]

Juste une précision (qui est peut être idiote, mais bon....)

Peut-on dire que l'élément d'arrivé c'est y, donc l'axe des ordonnées, et l'élément de départ c'est x (l'axe des abscisses).

mais alors, si on reprend f(x) = x² défini sur R, y (l'élément d'arrivé ) est définie sur R+, et x (l'élément de départ) sur R. Autrement dit, l'élément d'arrivé est plus restreint que celui de départ...... rrrhh, je m'emmèle les pinceaux.... lol

[emmanuel 68]

Je crois avoir enfin compris,

Une fonction est surjective si son ensemble image est l'ensemble d'arrivé tout entier. Ainsi si on reprend f(x)=x² sur R,

l'ensemble image est R+
l'ensemble d'arrivé est R

Donc l'ensemble image n'est pas l'ensemble d'arrivée tout entier , la fonction n'est donc pas surjective.

C'est bien cela?

[Antho07]

exacte f:E-->F surjective equivaut à dire f(E)=F

[emmanuel 68]

Ok, super,

Merci à vous pour votre aide!