Injection, bijection, surjection

[Anonyme]

bonjour, j'ai un exercice à faire mais je ne sais pas trop comment le traiter, est ce que vous pouvez me dire concrètement ce qu'il faut faire?

Soit f,g: N--->N deux fonctions définies par:

f(n)=n+1 et g(n)= 0 si n=0

g(n)= n-1 sinon

Etudier l'injectivité, la surjectivité, la bijectivité éventuelles de f et g.

en fait je ne vois pas trop ce que veut dire "étudieré. il faut ke je montre ke la fonctio est injective, surjective et/ou bijective mais je ne sais aps comment on montre ça!

pour la bijection j'ai essayé de faire la réciproque, ça m'a donné f-1(x)=x-1 mais je sais que ça ne montre rien. comment faut-il faire pour les trois cas?

aussi, pour la fonction g est ce que ça va poser problème, vu qu'il y a un cas particulier quand n=0?

merci.

[Galt]

Etudier l'injectivité, la surjectivité, etc, c'est se demander si la fonction est (ou non) injective, surjective, etc
Pour f : f(0)=1, f(1)=2, f(2)=3...
Est-elle injective, c'est à dire que peut-on dire si deux entiers n et p ont la même image ?
f(n)=n+1 et f(p)=p+1. n+1 = p+1 si et ssi n = p. Ainsi deux éléments qui ont la même image sont forcément égaux. f est injective.
Est-elle surjective, c'est à dire est-ce-que tout entier admet un antécédent par f?
Ici il est clair que 0 n'a pas d'antécédent, car l'équation n+1=0 n'a pas de solution dans N. f n'est pas surjective.
Pour g : g(0)=0, g(1)=0, g(2)=1,g(3)=2 ...
Est-elle injective ?
Non, puisque 0 et 1 (qui sont distincts) ont la même image, g(0)=g(1).
Est-elle surjective ?
Donnons nous un entier p, et cherchons n tel que g(n)=p, soit n-1=p. On trouve facilement que n=p+1 qui est bien un entier naturel. Ainsi tout entier naturel a au moins un antécédent, g est surjective.
Aucune des deux fonctions n'est bijective, puisque pour être bijective, il faut être à la fois injective et surjective.
Et voila
Bonne soirée