[Licence 1ère Année] Inégalité

[Anonyme]

Bonjour je sèche sur le problème suivant :

Soit l'application : f : N^2->N qui a tout couple d'entiers naturels (n,k)
associe l'entier naturel : f(n,k) = (1/2)*(n+k)*(n+k+1)+k .

Soient n,k,n',k' des entiers naturels tels que : n + k > n' + k'.
Montrer que : f ( n , k ) >= f ( n',k') + n' + k + 1

J'ai essayé avec l'étude du signe de la différence des deux membres de
l'inégalité mais j'aboutis à quelque chose de difficilement étudiable.
Toute indication ou réponse sera la bienvenue.
Merci d'avance.
Bonnes mathématiques
Yohann.

[Anonyme]

"Statik-" a écrit dans le message de news:
> Soit l'application : f : N^2->N qui a tout couple d'entiers naturels
(n,k)
> associe l'entier naturel : f(n,k) = (1/2)*(n+k)*(n+k+1)+k .
> Soient n,k,n',k' des entiers naturels tels que : n + k > n' + k'.
> Montrer que : f ( n , k ) >= f ( n',k') + n' + k + 1

Il est clair que ( n + k > n' + k' ) ==> ( n + k >= n' + k'+1 , égalité
entre entiers..)
Ainsi (n+k)^2 >= (n'+k')^2 + 2(n'+k') + 1
Or f(n,k)= (1/2)*(n+k)^2 +(1/2)*(n+k)+k
Ainsi f(n,k) >= (1/2)*( (n'+k')^2 + 2(n'+k') + 1 ) + (1/2)*(n' + k'+1)+ k
>= (1/2)*( (n'+k')^2 + (n'+k')+ k') + ( n' +k + 1/2 + 1/2)
>= f(n',k') + n' + k+ 1

[Anonyme]

Statik- wrote:

> Bonjour je sèche sur le problème suivant :
>
> Soit l'application : f : N^2->N qui a tout couple d'entiers naturels (n,k)
> associe l'entier naturel : f(n,k) = (1/2)*(n+k)*(n+k+1)+k .
>
> Soient n,k,n',k' des entiers naturels tels que : n + k > n' + k'.
> Montrer que : f ( n , k ) >= f ( n',k') + n' + k + 1
>
> J'ai essayé avec l'étude du signe de la différence des deux membres de
> l'inégalité mais j'aboutis à quelque chose de difficilement étudiable.
> Toute indication ou réponse sera la bienvenue.


Salut,

Sur un quadrillage, place les points à coordonnées entieres, puis trace
les droites d'eq x+y=cste. A partir de la essaye de comprendre ce qu'est
cette fonction f puis tu verras que ton inegalite est presque evidente.

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Calixte

> Merci d'avance.
> Bonnes mathématiques
> Yohann.
>
>
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[Anonyme]

> Soit l'application : f : N^2->N qui a tout couple d'entiers naturels (n,k)
> associe l'entier naturel : f(n,k) = (1/2)*(n+k)*(n+k+1)+k .
>
> Soient n,k,n',k' des entiers naturels tels que : n + k > n' + k'.
> Montrer que : f ( n , k ) >= f ( n',k') + n' + k + 1
>
> J'ai essayé avec l'étude du signe de la différence des deux membres de
> l'inégalité mais j'aboutis à quelque chose de difficilement étudiable.
> Toute indication ou réponse sera la bienvenue.
> Merci d'avance.
> Bonnes mathématiques
> Yohann.

Voici une solution plus simple :

On remarquera que f(n,k) = Somme{(p=0;p=n+k) p} + k

Soit avec n+k>n'+k'

f(n,k) = Somme{(p=0;p=n'+k') p} + Somme{(p=n'+k'+1;p=n+k) p} + k
= f(n',k') - k' + (n'+k'+1) + Somme{(p=n'+k'+2;p=n+k) p} + k
= f(n',k') + n' + k + 1 + Somme{(p=n'+k'+2;p=n+k) p}

or Somme{(p=n'+k'+2;p=n+k) p} >= 0

Donc on a bien : f(n,k) >= f(n',k') + n' + k + 1