Image et noyau d'une projection orthogonale non orthogonaux?

[LeoDeNohr]

Bonjour,
j'ai un problème avec une propriété que je n'arrive pas à démontrer d'une certaine manière...
Tout d'abord, somme nous d'accord sur cette propriété dont je ne suis pas sûr? :

2 espaces sont orthogonaux si leurs supplémentaires sont orthogonaux

Si oui, parfait, car il n'y a qu'ainsi que j'arrive à montrer que et sont orthogonaux... étant le projecteur canoniquement associé à la matrice

En effet, j'ai tenté, pour m’entraîner, de montrer l'orthogonalité des 2 espaces en prenant un vecteur quelconque dans chacun (inscrits dans la base de leur ensemble respectif) et en calculant le produit scalaire, et là ! et bien ça n'est pas nul... Donc ces 2 ensembles ne sont pas orthogonaux, donc n'est pas un projecteur orthogonal... Ce qui est faux car c'est cela qui permet de conclure l'exercice...

Qu'en pensez-vous ? Mes 2 ensembles ne sont-ils vraiment pas orthogonaux ? l'une de mes méthodes est fausse ??

EDIT :
La projection est forcément orthogonale, en effet : , ainsi, je pense que ma seconde méthode pour montrer l'orthogonalité des 2 ensembles est fausses. Pouvez-vous confirmer ?

Merci d'avance de votre aide
++

[Ben314]

Salut,
C'est mal barré vu que ça :

2 espaces sont orthogonaux si leurs supplémentaires sont orthogonaux

c'est trivialement faux et en plus complètement stupide vu qu'un même s.e.v. possède des tonnes de supplémentaires différents qui ne risquent pas d'être tous orthogonal à un certain s.e.v. : Si tu prend le cas le plus basique de chez basique d'une droite (vectorielle) du plan, un supplémentaire de cette droite, c'est n'importe quelle autre droite du plan (distincte de celle de départ).

Et sinon, concernant ce qui semble être ton problème, à savoir de "démontrer que l'image et le noyau d'une projection orthogonale sont orthogonaux", ben j'aimerais bien savoir ce qu'est, selon toi, la définition d'une projection orthogonale vu que dans la première qui me vient à l'esprit, il est écrit que le noyau et l'image sont orthogonaux donc il n'y a rien à démontrer.

Enfin bref, au minimum du minimum du minimum, si tu veut faire quelque chose qui ressemble à des maths, ben il faudrait que soient énoncé clairement quelles sont tes hypothèses et quelle est la conclusion à laquelle tu veut aboutir.

[Ben314]

En tentant de comprendre ton truc, il semblerait que ton objectif, c'est de montrer que, si un endomorphisme L de R^n a pour matrice A dans une base orthonormée et que alors L est une projection orthogonale.

1) Le fait que L est une projection si et seulement si est un résultat archi classique qu'il faut connaître et bien évidement dont il faut savoir faire la preuve (c'est passablement évident)

2) Ensuite, concernant l'orthogonalité, si tu prend de coordonnée (=vecteur colonne) dans la base orthonormée et de coordonnée alors, par définition de , il existe (de coordonnées ) tel que donc et on a
donc
Où la première égalité provient du fait que la base est orthonormée, la 3em du fait que et la 5em du fait que .

[Landstockman]

Ben, le (1) c'est pas la définition que tu prends pour les projecteurs ?

[Ben314]

Ben, le (1) c'est pas la définition que tu prends pour les projecteurs ?

Non, sûrement pas : quand au collège tu as commencé tu as commencé à voir la notion de projection, par exemple sur les axes d'un repère, ça m'étonnerais plus que beaucoup qu'on t'ai écrit quoi que ce soit ressemblant à du . Ce qu'on t'a vaguement écrit et écrit bien plus proprement ensuite, c'est des trucs du style où les "projetés" sont et .

Et le cas général, c'est celui d'un espace vectoriel E qui est somme directe de deux s.e.v. F et G donc (par définition du terme "somme directe") tel que tout x de E s'écrive de façon unique x=y+z avec y dans F et z dans G.
Dans ce cas, y et z sont respectivement appelés "la projection de x sur F parallèlement à G" et "la projection de x sur G parallèlement à F".
Définition ayant le bon goût :
1) De ne pas dépendre de la base choisie vu que si on prenant comme définition A^2=A, ben pour monter que ça a du sens il faudrait commencer par montrer que cette propriété ne dépend pas de la base dans laquelle on a écrit la matrice A de l'endomorphisme mais qu'elle dépend uniquement de l'endomorphisme lui même
2) De pouvoir s'appliquer y compris dans le cas d'espaces vectoriels de dimension infini où la notion de base" (donc de matrices) n'est pas vraiment définie (en fait, ça peut être défini, mais c'est nettement plus compliqué et pas pratique du tout)
3) D'être "intuitivement parlant" infiniment plus simple à comprendre.

Bref, avant de faire des exos. sur une notion de math., je t'inciterais plus que beaucoup à connaître, au minimum, la définition des objets que tu manipule.

[Landstockman]

Oui je suis entièrement d'accord, mais sauf erreur en prépa (LeoDeNohr y est si je me rappelle bien) ils disent que "Une projection est un endormorphisme qui vérifie ". (ça ne dépend donc pas de la base, ça marche en dimension infinie, mais c'est clair que c'est moins parlant) Enfin de toute façon ma remarque n'est pas très pertinente, on semble s'entendre sur ce qu'est une projection.

[Ben314]

(LeoDeNohr y est si je me rappelle bien) ils disent que "Une projection est un endormorphisme qui vérifie ".

Certe, certes, mais faudrait peut-être songer à regarder ce qu'il y a écrit au dessus de cette phrase.
Et ce qu'il y a d'écrit, c'est Théorème ou Proposition (et pas Définition) ce qui signifie qu'en dessous il y a une preuve de ce résultat.
Preuve que tu doit parfaitement comprendre et donc être capable de refaire sans soucis.
En particulier, on peut parfaitement te la demander à un oral (sauf que, vu la simplicité du bidule, si on finit par te demander la preuve d'une telle banalité, ça sera pas bon signe du tout du tout concernant l'image que tu aura donné précédemment à l'examinateur...)

[Landstockman]

Hum je te crois, je le voyais comme la définition et l'autre comme une caractérisation mais mes souvenirs me font probablement défaut.

[Ben314]

Ca pourrait parfaitement être une définition vu que c'est complètement équivalent à ce que je t'ai donné comme définition donc au niveau strictement mathématique, il n'y a aucune raison de prendre plutôt l'un que l'autre comme définition. Sauf qu'au niveau "intuitif", la propriété avec les sommes directes me semble nettement plus claire.

Et de toute façon, ça ne change pas grand chose au problème vu que si on prend comme définition le fait que L^2=L alors le fait que ça corresponde à x=y+z - > y devient un théorème qui demande une démonstration...

[Landstockman]

C'est clair que si échanger définitions et théorèmes permettait d'éviter toute démonstration on l'aurait su

[Pseuda]

Bonsoir,

Pour revenir à la question posée, et ne sont pas orthogonaux.

En effet, , , et

[Landstockman]

Pour revenir sur l'exercice :

La projection est forcément orthogonale, en effet : , ainsi, je pense que ma seconde méthode pour montrer l'orthogonalité des 2 ensembles est fausses. Pouvez-vous confirmer ?

Qui est ?J'ai peut-être mal lu mais je ne le vois pas. Et si d'aventure , alors on n'a pas

[Ben314]

Si ta matrice A c'est bien celle là:

... associé à la matrice

alors effectivement donc ce n'est sûrement pas une projection orthogonale.
(par contre donc c'est bien une projection)

[LeoDeNohr]

Ouhla... que des réponses à mes bêtises... ^^ (pas tapé s'il vous plaît)
Alors, première correction... j'ai dit une bêtise, j'avais car j'ai mal recopié l’énoncé sur mon brouillon... oui ça commence bien...

Alors oui, je connais la définition d'une projection, cependant, ce qui peut porter à confusion quand je par de ce sujet, c'est que la propriété est appelée par mon prof une "caractérisation" des projection, selon ces dires, c'est ça que l'on doit utiliser et non pas la définition pour démontrer que l'on a une projection ou non. Désolé @Ben314 ^^
Enfin la démonstration est effectivement simpliste, la voici d'ailleurs :

Soit E un espace vectoriel.
Soient O, U, deux sev de E en somme directe.
Soit admet une unique décomposition .
Soit la projection sur O parallèlement à U : .
Alors
d'où
Ce qui se traduit matriciellement par avec la matrice canoniquement associé à

Je ne referai pas la preuve pour la projection orthogonale et l'orthogonalité des ensembles et

Sinon, oui, je suis en prépa, comme le précisait @Landstockman

Donc pour résumer...

1. Ma première méthode était douteuse;
2. Ma deuxième méthode est bonne, mais forcément j'ai pas le résultat escompté car j'essai de démontrer un résultat faux;
3. Mes deux espaces ne sont pas orthogonaux, ce qui m'embête fortement car c'est ce qui me permettait de finir mon exercice...

...

Bon bah... Du coup, ça me pose un autre soucis... voyez vous même :
Soit .
2 vecteurs unitaires tels que
On pose .
On peut montrer que : (grâce à ).
Comment montrer que :

A vrai dire, je ne vois pas