Projection orthogonale sur une droite puis un plan

[LeoDeNohr]

Bonjour,
J'ai un peu honte de demander ça alors que je rentre en 5/2, mais pouvez-vous me rappeler comment on projette un point sur une droite en dimension n, puis comment on en déduit la projection de ce point sur le plan orthogonal à la dite droite ?
Au passage, auriez-vous une idée du nom du chapitre où je peux retrouver cette méthode s'il vous plait ?

[Landstockman]

Salut,

Déjà il y a plusieurs façons de projeter un point sur une droite (ne veux-tu pas plutôt parler d'un vecteur d'ailleurs ?) : Il faut donner une direction selon laquelle projeter.
Cependant, si tu projettes orthogonalement à la droite, cela signifie que tu projettes parallèlement à LE supplémentaire orthogonal de ta droite.

Autrement dit (en termes de vecteurs) : Si ta droite c'est un sev et que tu as trouvé son supplémentaire orthogonal , alors tu as écrit tout vecteur de l'espace comme somme de deux vecteurs, où et
avec où désigne le produit scalaire. Cette décomposition est unique.
est le projeté orthogonal de x sur la droite , est le projeté orthogonal sur .

Bien-sûr si tu veux le faire explicitement ça dépend de ce que tu sais sur ta droite.

[Landstockman]

(Tu trouveras tout ça dans les chapitres espaces pré-hilbertiens et espaces euclidiens)

[LB2]

Pour compléter, si tu es dans un cadre seulement linéaire de dimension finie, sans produit scalaire, il n'y a plus de notion d'orthogonalité, et il n'y a pas non plus unicité de la projection.

Plus précisément, on projette un vecteur sur un sous espace parallèlement à un supplémentaire
Bien sûr ce résultat dépend du supplémentaire choisi... C'est évident si tu fais un dessin dans le plan avec des parallélogrammes. C'est pour ça qu'il faut se méfier des notations avec .

[LeoDeNohr]

Bonjour et merci à vous 2,
alors, oui, je confirme, il s'agit bien d'un vecteur que je doit projeter. Mais à vrai dire, je ne crois pas que la question soit posé de sorte à utiliser le complémentaire (le plan donc)... Je cite :


Je pourrais faire ce que vous recommandez , mais ça me donnerai directement le résultat de la question 2...
Bon en soit, tant que j'ai le résultat, j'ai le résultat, mais bon...
enfin bref, je vais déjà voir ce que j'obtiens avec ça
Merci merci
++

[Landstockman]

Pour la première question, comment tu caractérises l'orthogonal de H ?

[LeoDeNohr]

comment je le caractérise ? comme le... complémentaire de H... certes... une droite de vecteur directeur ...

[Landstockman]

Attention !
UN supplémentaire de H, LE supplémentaire orthogonal de H, mais surtout pas le complémentaire^^
Une droite vectoriel de vecteur directeur ? Mais qui sont , et ?

[LB2]

Attention à ne pas dire des bêtises...

Complémentaire, ce n'est pas supplémentaire. Et en algèbre linéaire, on n'utilise jamais les complémentaires d'un sev (car ce ne sont pas des sev).
Ensuite, la droite de vecteur directeur (x,-y,z), ça ne veut rien dire...

EDIT: @ Landstockman OK!

[Landstockman]

LB2 à répondu avant que je ne modifie... trop rapide !

[LeoDeNohr]

oki, oki, fail ^^

effectivement, "la droite de vecteur directeur (x,-y,z)", ça ne veut rien dire, le vecteur directeur est plutôt (1, -1, 1) ^^

[Landstockman]

Voilà !
Donc tu sais que ton projeté est colinéaire à ce vecteur, il ne te reste plus qu'à déterminer sa norme (il y a une formule dans la leçon qui te la donne mais tu peux tout aussi bien la retrouver par toi même)

[LeoDeNohr]

Euh... à vrai dire, je ne trouve pas, j'ai bien une formule avec la distance mais rien qui me donne la norme directement. De plus, peux-tu expliquer en quoi le fait d'avoir la norme m'aidera ? Certes, j'ai un vecteur directeur est une norme, mais ça ne me donne pas les coordonnées de mon projeté, peux-tu m'expliquer stp ?

Sinon, j'ai trouvé autre chose : la base de ma droit, le vecteur directeur donc, si je la norme, j'ai bien une base orthonormée ? du coup, j'ai trouvé dans mon cours la formule :
avec le projeté orthogonale de sur la droite. Ce qui donne, en notant les coordonnées de :

qu'en pensez-vous ??

[Pseuda]

Bonjour,

Oui c'est ça. Sans utiliser de formule, dans une base orthonormée constituée d'un vecteur normé de la droite orthogonale à (et complétée par une base orthonormée de ), on calcule :
. C'est la 1ère coordonnée de . On en déduit les autres.

Attention il y a un mélange de notation et dans tes formules.

[LeoDeNohr]

Bonjour @Pseuda, oui, il y a une confusion dans mon dernier post, je vais corriger ça...
donc maintenant que j'ai ça je peux utiliser plusieurs méthodes pour trouver la projection orthogonale sur :

1. Je cherche une base orthonormée de (facile mais un peu chiant...) puis j'applique la formule de mon précédent message
2. j'utilise l'unicité de la décomposition sur et son orthogonal, comme initié avec @Landstockman et @LB2... ça m'a l'air plus dur car je ne vois vraiment pas comment aboutir, mais du coup j'ai envie de comprendre comment ça marche

L'un de vous peut-il expliquer comment j'obtiens les coordonnées de la projection avec la méthode @Landstockman et @LB2 ? car en soit, je n'ai qu'une seule équation (produit scalaire de valeur absolue 1 pour la colinéarité) et le fait que la norme de la projection est inférieure à la norme de ...

++

[Landstockman]

Re-Salut,

En fait la méthode que j'avançais c'est la même que toi. Ici on est dans le cas simple parce que H est un hyperplan. Du coup son supplémentaire orthogonal est une droite de vecteur directeur que tu as déterminé. Toi tu connais les coordonnés du vecteur x que tu veux projeter. Est ce qu'on est d'accord que si t'arrives à projeter x sur la droite t'arrives à le faire sur son orthogonal H?
Pour projeter sur une droite vectorielle, il suffit de connaitre la norme du proieté parce que sa direction est donnée. Et pour connaitre la norme, on a le produit scalaire
ça revient directement à appliquer ta formule, dans le cas où tu as une base orthonormée de la droite. Mais cˆest plutôt facile de trouver ça non ?

[LeoDeNohr]

c'est vrai que dit comme ça...
^^ Merci

[Pseuda]

donc maintenant que j'ai ça je peux utiliser plusieurs méthodes pour trouver la projection orthogonale sur :

1. Je cherche une base orthonormée de (facile mais un peu chiant...) puis j'applique la formule de mon précédent message
2. j'utilise l'unicité de la décomposition sur et son orthogonal, comme initié avec @Landstockman et @LB2... ça m'a l'air plus dur car je ne vois vraiment pas comment aboutir, mais du coup j'ai envie de comprendre comment ça marche

Une fois qu'on a le projeté orthogonal sur la droite, on obtient facilement le projeté orthogonal sur le plan : c'est tout simplement (car ).

[LeoDeNohr]

Ah oui c'est vrai... Je me sens terriblement bête ^^
Bon bah fin de l'exercice du coup
Merci beaucoup à vous 3