Image / bijectivité

[steven48]

Bonjour,
Voici 3 petits exos, je ne suis pas trop sur.

Exercice 1
Déterminer l’image des intervalles I par la fonction f dans les cas suivants:
i. I = ]1, 2] et f : R -> R définie par f(x) = (3/2 - x)²
ii. I = [1, 2[ et f : R -> R définie par f(x) = (3/2 - x)^3
iii. = [0, 2] et f: R -> R donnée par f(x) = x + 1 si x appartient à [0, 1[ et x - 1 si x appartient à [1,2]

Ne sachant pas vraiment quelle démarche entreprendre, j'ai dérivée les fonctions et établit un tableau de variations avec les signes de la fonction.
la 1ère fonction est toujours positive et est croissante mais non strictement puisque la dérivée change de signe sur I : f'(x) = 2x - 3

la 2ème fonction est positive jusqu'à x = 3/2 puis négative. La fonction est strictement décroissante puisque sa dérivée est négative pour tout x sur I: f'(x) = -3((x - 3)²)

La 3ème fonction est strictement croissante.
La dérivée de f sur le 1er intervalle = la dérivée de f sur le 2ème intervalle = 1.
F est positive sur I

Exercice 2
On reprend le dernier exemple de l’exercice 1. La fonction f définit-elle une bijection de [0;2] sur
son image. Et si oui, donner sa bijection réciproque.
Pour que la fonction soit bijective il faut qu’elle soit surjective et injective.
Injection :
x + 1 = x’ + 1
x = x’
et
x – 1 = x’ – 1
x = x’
Donc la fonction est injective puisque f(x) = f’(x) implique x = x’.

Surjection :
Il faut que tout élément de l’ensemble d’arrivée ait au moins un antécédent par f, pour x appartenant à [0,2] -> f(x), tout élément d’arrivée a au minimum un élément de départ.
pas vraiment sur que cette justification soit correcte :marteau:

La fonction est donc une bijection de [0, 2] sur son image.

Par contre concernant bijection réciproque ? doit je juste calculer la fonction réciproque f-1 ? Où est la difficulté ?


Exercice 3

On considère la fonction f : R+* -> R+* donnée par :
si x appartient à ]0, 1], f(x) = 1/x
si x appartient à [1, 2], f(x) = 2 - x
si x appartient à [2, +infini[ f(x) = (2-x)/(x-1)

i
Montrer que f est une fonction strictement décroissante.
Remarque: Pour étudier la monotonie de x -> (2-x)/(x-1) on pourra écrire (2 - x) / (x -1) = - 1 + 1/(x -1)
On admet que f (]0; +1[ = ]- 1; +infini


ii. Soit g:]-1, +infini[ -> ]0, +infini[ la bijection réciproque de f sur son image. Déterminer g

Doit juste déterminer la réciproque f-1 ?