Identification de termes généraux de deux 2 séries

[Peypeypey]

Bonjour
Je cherche à montrer la formule des moments d'une gaussienne centrée de variance a^2:
E(X^2k) = [( 2k)!]/[(2^k).k!]
E(X^2k+1)=0

Je dois la prouver via une identification de termes de deux séries.
Je parts de E(exp(itX))= exp( [-t^2.a^2]/2 )

Alors
série( [(it)^k.E(X^k)]/k! ) = série ( [(-t^2a^2)^k] / [2^k.k! ] )

Comment continuer? Et avec quel argument puis je passer à l'égalité des coeffecients?

[Ben314]

Salut,
Des deux cotés du "=" tu as des séries entières en t (avec rayon de convergence non nul) et tu doit avoir vu qu'une fonction donnée admet (au plus) une unique décomposition en série entière : cela te permet de dire que les coeff en t^k sont les même des deux cotés du = et de conclure.

[Peypeypey]

Merci

J'ai trouvé une autre méthode avec les intégrales mais je ne comprends pas un passage:
On cherche toujours la formule M2k (moment d'ordre pair)
M2k = intégrale sur R [ x^2k . f(x) ] dx = intégrale sur R [ x^2k-1 . x . f(x) ] dx = - intégrale sur R [ t^2k-1. f '(x)] dx = (2k-1). intégrale sur R [ t^(2k-2) . f(x) ] dx
Ainsi: m2k = (2k-1).m2k-2


Pour la troisième égalité , c'est sans doute une IPP mais je bloque sur cette dernière oO

PS: J'ai trouvé ça ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_normale

[Ben314]

C'est effectivement une intégration par partie : si alors donc une primitive de est .