Ideaux

par **Mulan** » 11 Oct 2011, 19:06

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre ces 2 questions :

1) Quels sont les idéaux maximaux de C[X] qui contiennent X^3 - 1 ?

2) Quels sont les idéaux maximaux de R[X] qui contiennent X^3 - 1 ?

Je connais la définition mais je ne vois pas comment trouver.

Merci

par **Nightmare** » 11 Oct 2011, 23:43

Salut,

déjà, quelle est la forme des idéaux de C[X] et de R[X]? Et la forme des idéaux maximaux?

par **Mulan** » 12 Oct 2011, 09:53

Bonjour,

Soit C[X] un anneau commutatif, soit I un idéal de C[X]
I est maximal si lorsque pour tout K idéal de C[X], on a I C K implique I = K ou A = K et A différent de I.

Par contre je ne sais pas pour la forme.

Merci

par **Nightmare** » 12 Oct 2011, 10:04

N'as-tu pas vu que C[X] et R[X] sont des anneaux principaux?

par **Mulan** » 12 Oct 2011, 12:14

Si je viens de le voir, mais je ne vois pas le rapport entre sauf si il faut peut etre utiliser un ideal I de B est dit principal lorsqu'il existe x dans I tel que I= (x) = Bx

Mais je ne vois pas le lien

par **Nightmare** » 12 Oct 2011, 12:20

On sait donc que les idéaux sont tous générés par un polynôme.

Peux-tu me donner des exemples d'idéaux de C[X] qui contiennent X^3-1?

par **Mulan** » 12 Oct 2011, 16:55

On peut prendre I = x^3 - 1 ? non ?

par **Nightmare** » 12 Oct 2011, 17:59

Je ne comprends pas... x^3-1 ce n'est pas un ensemble, contrairement à un idéal!

par **Mulan** » 12 Oct 2011, 18:10

Je ne vois pas comment s'écrit un idéal.

par **Nightmare** » 12 Oct 2011, 18:13

Oublions x^3-1, peux-tu donner un idéal quelconque de C[X]?

Tu as dit toi même, je cite :

un ideal I de B est dit principal lorsqu'il existe x dans I tel que I= (x) = Bx

C[X] et R[X] sont des anneaux principaux, c'est à dire que tous leurs idéaux sont principaux, donc s'écrive sous la forme que tu as décrite. Comprends-tu bien cette définition de "principal" que tu m'as donné?

Comprends-tu les notations I=(x)=Bx? Que signifie (x)? Que signifie Bx?

par **Mulan** » 12 Oct 2011, 18:17

Effectivement (x) je ne comprend pas

Par contre Bx = { y x , y dans B }

par **Nightmare** » 12 Oct 2011, 18:22

Ok avec Bx et pour (x), c'est exactement la même chose signification.

Plus généralement, (S) où S est un sous-ensemble de B, désigne l'idéal engendré par S, et consiste en l'ensemble des sommes d'éléments de S et de leurs produits avec les éléments de B.

Autrement dit, (S)={somme de b_{i}s_{i}| bi dans B, si dans S}

Bon, tu as donc compris ce qu'était un idéal principal. On sait que tous les idéaux de C[X] (et de R[X]) sont principaux. Peux-tu donc me donner un exemple d'idéal de C[X]?

par **Mulan** » 12 Oct 2011, 18:26

Idéal de C[X] : 0 et C[X] sont des idéaux triviaux

par **Nightmare** » 12 Oct 2011, 18:28

Oui, et des non triviaux?

par **Mulan** » 12 Oct 2011, 18:35

Alors des non triviaux :
Je n'en trouve pas

par **Nightmare** » 12 Oct 2011, 18:37

Tu l'as dit toi même :

Les idéaux principaux sont les idéaux de la forme Bx avec B l'anneau ambiant et x un de ses éléments.

Que donne cette définition appliquée à notre anneau C[X]?

par **Mulan** » 12 Oct 2011, 18:43

Cela donne (x) = { y x, y dans C[X] }

Du coup je pourrai avoir

i * i
(2 i) * ( 5 )

(6i ) *( 4+racine de 2 i) ...

Mais il doit contenir X^3 - 1

par **Nightmare** » 12 Oct 2011, 18:52

Je ne comprends rien désolé :(

Je ne vois pas le rapport entre ce que tu écris et ma question...

Un idéal de C[X] est de la forme C[X]*x où x est un élément de C[X]. Les éléments de C[X] ce sont des polynômes.

Un exemple d'idéal de C[X] est C[X]X², autrement dit, l'ensemble des polynômes qui s'écrivent Q*X² où Q est un certain polynôme.

Autre exemple d'idéal de C[X] : C[X](2X+i)
ou bien C[X](2X^12+3X^10+iX²+racine de 2)
etc...

bref, il ne faut pas chercher midi à 14h, de façon plus ostensive :

Pour former un idéal de C[X]. Je prends un polynôme quelconque P, je le multiplie par tous les polynômes possibles de C[X], l'ensemble des polynômes obtenus après multiplication, c'est notre idéal, engendré par P. (Encore une fois, tout ceci est valable parce que C[X] est principal, donc tout ses idéaux sont bien engendrés par un unique élément).

Si tu as compris, peux-tu me donner un exemple d'idéal qui contienne X^3-1 ?

par **Mulan** » 12 Oct 2011, 19:48

on doit avoir C[X] ( x^3-1) c'est à dire l'exemple des polynome Q * (X^3-1),
on peut prendre Q = X-i , = X²+4i et on multiplie, par contre y a t il un moyen de tous les trouver ?

par **Nightmare** » 12 Oct 2011, 21:03

Ok,

effectivement, si on prend l'ensemble des "multiples" de X^3-1, c'est bien un idéal qui contient naturellement X^3-1.

Tu me demandes comment tous les trouver, pour ça, on a toutes les clés en main :

On sait que les idéaux de C[X] sont chacun formés par des éléments Q*P où P est un polynôme fixé.

Pour que notre idéal contienne X^3-1, il faut donc qu'il existe un certain Q pour lequel le produit Q*P est égal à X^3-1. A quelle condition sur P un tel Q existe-t-il?

Si tu ne comprends pas bien, je prends le problème dans l'autre sens : Si je prends par exemple P=X², est-ce qu'il existe bien toujours un polynôme Q tel que Q*X²=X^3-1 ?
Si je prends P=X^2+X+1 ? Si je prends P=X+5 ? Si je prends P=X-1 ? Vois-tu une généralisation?

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