Idéal premier, Idéal maximal

[Ncdk]

Bonjour,

J'avais une petite question, mais je trouve pas l'idée pour résoudre.

Soit un entier naturel n. Considérons l'idéal de engendré par et tel que :

Montrer que n'est pas premier et que n'est pas maximal.

J'ai commencé par regarder ce que c'était , c'est quelque chose de la forme .
(Je ne sais pas si c'est licite de noter et , car c'est probablement des choses différentes ce fameux ).

Merci

[L.A.]

Bonjour, :zen:

la décomposition devrait te permettre de montrer assez facilement que I_4 n'est pas premier.

Tu peux aussi montrer que Z[X]/I_4 est isomorphe à Z/4Z qui n'est pas intègre.

[MouLou]

Salut.

Regarde précisément les définitions et essaye de voir ce qui est en défaut dans cet anneau.

Pour la primalité j'ai pas encore réfléchi, mais pour la maximalité ca saute aux yeux!

[Ncdk]

J'ai quelques soucis avec les définitions.

I est un idéal premier si I est strict et si ou .
Mais je n'arrive pas à l'appliquer à l'exercice. Il faudrait prendre pour moi deux polynômes quelconques déjà et voir que est pas dans , alors ça implique que est pas dans et pareil pour ?

Pour non maximal, je me suis dis que est un idéal, donc il existe pas d'unique idéal de contenant strictement et , car , , ..., sont des idéaux de , alors directement on voit qu'il y en a pas qu'un seul et unique idéal de qui contient lui-même et qui est contenu dans l'anneau

[MouLou]

J'ai quelques soucis avec les définitions.

I est un idéal premier si I est strict et si ou .
Mais je n'arrive pas à l'appliquer à l'exercice. Il faudrait prendre pour moi deux polynômes quelconques déjà et voir que est pas dans , alors ça implique que est pas dans et pareil pour ?

Pour non maximal, je me suis dis que est un idéal, donc il existe pas d'unique idéal de contenant strictement et , car , , ..., sont des idéaux de , alors directement on voit qu'il y en a pas qu'un seul et unique idéal de qui contient lui-même et qui est contenu dans l'anneau

Si tu veux montrer que I est premier, tu supposes que PQ appartient à I, et tu montres que forcément P ou Q est dans I.

Un exemple simple: regarde pZ idéal de Z avec p premier. dire que ab est dans pZ, ca veut dire que p divise ab, et comme p est premier, p divise a ou p divise b et donc a est dans pZ ou b est dans pZ.

Si au contraire tu veux montrer qu'il n'est pas premier, tu vas choisir deux éléments P et Q de Z[X], qui ne sont pas dans I, mais dont le produit est dans I! est c'est ce que t'a suggéré L.A en te proposant de prendre P=2 et Q=2...

Pour ta discution sur les ideaux maximaux j'ai rien compris. Mais pour montrer qu'un idéal n'est pas maximal t'as juste a exhiber un idéal strictement compris entre I et Z[X]...

[Ncdk]

Je vois merci, non c'est moi qui me trompé sur le fait de prouver que c'était PAS premier. :zen:

Pour les idéaux maximaux, je voulais partir de la définition même.

C'est-à-dire que : est un idéal maximal si est strict et si l'unique idéal de contenant strictement est , autrement dit, est un idéal maximal si et seulement si est différent de et est contenu dans lui-même et il est contenu dans seulement !

Donc pour en revenir à mon histoire, si on suppose que est maximal, ça veut dire que est le seul et unique idéal qui vérifie que différent de , et , mais nos sont tous des idéaux donc ils sont inclus ou égales à non ? Donc n'est pas le seul idéal qui vérifie qu'il est inclus dans l'anneau ?

C'est ce que je voulais dire, même si je suis pas satisfait de ce que je dis, mais autant qu'on me corrige histoire que je fasse pas de contre sens.

[MouLou]

Contenu dans A, et A uniquement! tu saisis?
En termes plus simple ca veut dire qu'il n'y a pas d'ideal strictement intermédiaire entre I et A.

Ca n'a pas grand chose à voir avec ce que t'as écrit pour I_4 là...

Vu l'interprétation que t'en fais on dirait que tous les ideaux sont maximaux.

Donc question: Peux tu trouver un Idéal qui n'est pas Z[X], mais qui contient strictement I?

[Ncdk]

Ah oui d'accord merci

On peut prendre I_4 mais plutôt que ce soit un idéal de Z[X] on peut prendre un idéal de R[X] non ?

[MouLou]

Je comprends pas

[MouLou]

Faut que ca reste dans Z[X] hein

[Ncdk]

Je vois pas, j'avais pensé à des idéaux de Z[X] qui sont engendré par

[MouLou]

Pourquoi 4Z n'est pas maximal dans Z? ca te donne pas une idée?

[L.A.]

Tu t'éparpilles un peu trop à mon avis. Le but de l'exercice (encore faut-il le savoir, j'en conviens) est de te faire remarquer le lien (équivalence) entre "I_n idéal premier" et "n nombre premier". Je pense que quoique que tu fasses, il faudra que tu utilises le fait que 4 n'est pas premier pour arriver à la solution.

Pour la maximalité, tu peux voir que si n divise m (strictement) alors I_n contient I_m (strictement), d'où le résultat puisque 2 divise 4.

Rmq : si un idéal n'est pas premier, il ne peut pas être maximal...

[Ncdk]

on peut trouver un n plus grand que 4 tel que 4 divise n ? du coup ça fait que 4Z n'est pas maximal

[MouLou]

on peut trouver un n plus grand que 4 tel que 4 divise n ? du coup ça fait que 4Z n'est pas maximal

Relis bien ce que L.A t a dit

[Ncdk]

Tu t'éparpilles un peu trop à mon avis. Le but de l'exercice (encore faut-il le savoir, j'en conviens) est de te faire remarquer le lien (équivalence) entre "I_n idéal premier" et "n nombre premier". Je pense que quoique que tu fasses, il faudra que tu utilises le fait que 4 n'est pas premier pour arriver à la solution.

Pour la maximalité, tu peux voir que si n divise m (strictement) alors I_n contient I_m (strictement), d'où le résultat puisque 2 divise 4.

Rmq : si un idéal n'est pas premier, il ne peut pas être maximal...

D'accord merci de ton aide
Mais au-delà de ça, on peut aussi généraliser, comme je l'ai dis prendre un , tel que . Donc on aura alors qui contient .
Du coup, juste question comme ça, il y a des idéaux maximaux pour ce cas de figure, par exemple si n est premier ?

Mais bon, pour en revenir à ce que tu as dis, je vois bien, et il est vrai que dans la suite de l'exercice que j'ai pas posté, on me demande de prouver l'isomorphisme que tu as dis plus haut, mais je suis censé savoir faire, c'est un peu ce que MouLou m'avait expliqué sur un autre post, je m'y penche demain, je verrai bien si des choses me posent encore problème ou pas, mais ça a l'air d'aller mieux, sauf que j'avais pas compris totalement le début de l'exercice, ni même la notion d'idéal maximal et premier.

Merci

[Ncdk]

Pour rebondir sur l'exercice, j'ai deux questions qui suivent et dont je suis pas trop sur de ma réponse.

2) Soit l'injection canonique de dans qui à tout entier associe le polynôme constant égal à et soit la projection canonique. On pose . Montrer que est un morphisme surjectif de sur

Réponse : Je sais pas si déjà on a le droit, étant donné que c'est pas dit, de dire que p et i sont des morphismes, car on est en présence d'anneaux, donc je vois pas pourquoi c'est pas dit, peut-être que dans la définition même de la projection canonique, c'est que c'est un morphisme. Je voulais vous demandez

Sinon après mais comme alors .
étant un morphisme surjectif, alors est un morphisme surjectif.

3) Déterminer le noyau de et en déduire que

Réponse : Ker =

J'arrive pas à trouver, mais je pense que c'est , mais pas tellement d'idée, si je peux avoir une indication, je pense que le fait que est un idéal peut me servir

Donc il reste à prendre deux applications, la première qui est la projection canonique de dans , elle est surjective, et une autre qui va de dans

tel que la composée des deux applications ci-dessus donne
Du coup on a déjà un renseignement certain sur l'application que je vais noté , on sait qu'elle est surjective.

Injectivité : J'ai pas encore trouvé, mais si je peux avoir une petite indication merci

[MouLou]

Pour rebondir sur l'exercice, j'ai deux questions qui suivent et dont je suis pas trop sur de ma réponse.

2) Soit l'injection canonique de dans qui à tout entier associe le polynôme constant égal à et soit la projection canonique. On pose . Montrer que est un morphisme surjectif de sur

Réponse : Je sais pas si déjà on a le droit, étant donné que c'est pas dit, de dire que p et i sont des morphismes, car on est en présence d'anneaux, donc je vois pas pourquoi c'est pas dit, peut-être que dans la définition même de la projection canonique, c'est que c'est un morphisme. Je voulais vous demandez

Sinon après mais comme alors .
étant un morphisme surjectif, alors est un morphisme surjectif.

3) Déterminer le noyau de et en déduire que

Réponse : Ker =

J'arrive pas à trouver, mais je pense que c'est , mais pas tellement d'idée, si je peux avoir une indication, je pense que le fait que est un idéal peut me servir

Donc il reste à prendre deux applications, la première qui est la projection canonique de dans , elle est surjective, et une autre qui va de dans

tel que la composée des deux applications ci-dessus donne
Du coup on a déjà un renseignement certain sur l'application que je vais noté , on sait qu'elle est surjective.

Injectivité : J'ai pas encore trouvé, mais si je peux avoir une petite indication merci

Salut. Je ne pesne pas que par définition ce sont des morphismes, mais la vérification est tellement évidente quand on l'écrit qu'on s'embete plus à le dire (et je pense que c 'est tout le temps vrai).

Ensuite, le fait que p est surjectif n'implique pas du tout que p o i est surjective!!
écrit la définition de la surjectivité, et rends toi compte que dire que h est surjective est revient à dire que tout élément d'une classe de admet un représentant constant (et lequel?)

Pour le 3e c'est aussi assez flou, écrit proprement la définition du noyau (deja le noyau doit etre un idéal de Z puisque ton morphisme part de Z! et des idéaux de Z y'en a pas 50.

D'une manière générale, les notions de quotient ont l'air assez fraiches pour toi et tu sembles encore maladroit dans la manipulation. Je te suggere vraiment d'écrire très scrupuleusement toutes les définitions des objets que tu manipules (par exemple le quotient, la surjectivité etc) , cela viendra alors au fur et à mesure.

[Ncdk]

Salut. Je ne pesne pas que par définition ce sont des morphismes, mais la vérification est tellement évidente quand on l'écrit qu'on s'embete plus à le dire (et je pense que c 'est tout le temps vrai).

Ensuite, le fait que p est surjectif n'implique pas du tout que p o i est surjective!!
écrit la définition de la surjectivité, et rends toi compte que dire que h est surjective est revient à dire que tout élément d'une classe de admet un représentant constant (et lequel?)

Pour le 3e c'est aussi assez flou, écrit proprement la définition du noyau (deja le noyau doit etre un idéal de Z puisque ton morphisme part de Z! et des idéaux de Z y'en a pas 50.

D'une manière générale, les notions de quotient ont l'air assez fraiches pour toi et tu sembles encore maladroit dans la manipulation. Je te suggere vraiment d'écrire très scrupuleusement toutes les définitions des objets que tu manipules (par exemple le quotient, la surjectivité etc) , cela viendra alors au fur et à mesure.

Salut,

Mais pourtant pour tout n, i(n) c'est n.
Donc pour tout n, poi c'est p. Donc p(n)=h(n), comme p est surjective, h l'est aussi vu qu'ils sont égaux. Par égalité si h est surjective, vu que c'est la composé de deux applications dont une est surjective, alors l'autre l'est non ?

J'ai fait une coquille, je vais corriger ici pour le Ker, tu me diras si c'est mieux



EDIT : Pour revenir à ce que tu me disais, des idéaux de Z, il y a bien {0} et Z seulement ?
Car c'est un anneau principal

[MouLou]

Salut,

Mais pourtant pour tout n, i(n) c'est n.
Donc pour tout n, poi c'est p. Donc p(n)=h(n), comme p est surjective, h l'est aussi vu qu'ils sont égaux. Par égalité si h est surjective, vu que c'est la composé de deux applications dont une est surjective, alors l'autre l'est non ?

J'ai fait une coquille, je vais corriger ici pour le Ker, tu me diras si c'est mieux

C'est la que tu te trompes... si h=f o g est surjective, alors f est surjective. Mais pas l'inverse!

et h et p ne sont pas du tout égaux... l'une part de Z[X], lautre part de Z, tout ce que tu peux dire c'est qu'elle coincide sur les polynomes constants, qu'on identifie a Z.
Je répète, écris la définition de la surjectivité pour CETTE fonction et essaye de voir ce que tu peux faire

Pour ton Ker oui c'est ca, c'est quand même important de le dire, surtout que 2 ligne plus tard tu essayes de dire que le noyau c'est I_n qui lui n'est pas dans Z.