Hyperplan, supplémentaire et somme directe

[Guigui1Pierre]

Bonjour à tous,

Soit E un ev sur IK
E est de dim infinie
Soit H un sous-espace de E
H est de codimension 1

Comment montrer que tout sous-espace F de dimension 1 de E, tel que F+H est une somme directe, est un supplémentaire de H dans E?

(l'inclusion inverse est vraie car ça découle directement de la définition de "codimension")

(avec E de dimension finie, c'est vrai car "la somme des dimensions = la dimension de la somme")

Merci d'avance pour votre aide

[GaBuZoMeu]

Pour moi, codimension 1 veut dire que le quotient E/H est de dimension 1. D'accord ?
Soit F une droite vectorielle non contenue dans H. Son intersection avec H est réduite à {0}. Son image dans E/H est un sous-espace non nul de E/H, donc c'est E/H tout entier. L'application linéaire F -> E/H est surjective, et comme F et E/H sont tous deux de dimension 1 c'est un isomorphisme.
Soit x dans E. Il existe un (unique) élément z de F qui a même classe que x dans le quotient E/H. Alors y = x-z appartient à H. Tout élément de E est somme d'unélément de H et d'un éléments de F.

Si tu n'es pas familier avec les quotients, tu peux remplacer E/H par un supplémentaire G de H dans E de dimension 1, et raconter la même histoire.

[Guigui1Pierre]

J'ai trouvé.
Je prend un élément qcq x de E. Appelons D la droite vectorielle à laquelle appartient x.
Par l'absurde, si x n'est pas dans G+H, on en déduit que l'intersection de D et G+H est {0} donc (c'est là que j'avais un doute mais maintenant j'ai vérifié) que D, G et H sont en somme directe. Du coup, D+G est un supplémentaire de dimension 2 de H.
Impossible donc x appartient à G+H.

[GaBuZoMeu]

Pour toi, codimension 1 veut dire : avoir un supplémentaire de dimension 1, c'est ça la définition ?
Mais pourquoi ça empêche d'avoir un supplémentaire de dimension 2 ? Il faudrait le démontrer.