Groupes et transpositions

[Trident]

Bonjour à tous, je vous sollicite pour une question.

On considère le groupe G = , groupe symétrique.
Il faut déterminer le sous groupe engendré par a=(1 2 3 4) et b = (1 3)(2 4) (noté ).

Je voudrais savoir si d'abord ma technique est bonne et puis s'il y a une méthode plus rapide.

On note que contient 24 éléments donc a un nombre d'éléments qui est une diviseur de 24. De plus, a est un 4-cycle donc d'ordre 4 donc le ss groupe est d'ordre 4, 8, 12 ou 24. Enfin, on note que b est produit de deux 2-cycles à support disjoints donc ordre(b)=ppcm(2,2)=2 (le ppcm des longueurs des cycles).

On remarque que ab=ba =(1 4 3 2) donc a et b commutent. Donc ab est d'ordre 4 (car c'est un 4-cycle).
Le groupe est alors donné par :

{e,a,a²,a^3, b,b², ab, a²b²}

On a utilisé que (ab)²=a²b² car a et b commutent et puis on a enlevé a^3b^3=a^3 car b^3 = e.

Mais bon, rien ne me dit qu'il n'y a pas d'autres redondances dans mon groupe ?

Merci bien.

[L.A.]

Bonsoir.

N'a-t-on pas a^2=b, de sorte que = ?

J'ai parcouru le reste sans y prêter grande attention, j'ai juste été choqué par l'affirmation b^3=e (sachant que b est d'ordre 2, c'est impossible)

[Trident]

Bonsoir.

N'a-t-on pas a^2=b, de sorte que = ?

J'ai parcouru le reste sans y prêter grande attention, j'ai juste été choqué par l'affirmation b^3=e (sachant que b est d'ordre 2, c'est impossible)

Ok merci.
Désolé pour b^3=e, c'est une erreur d'inattention.

[Ben314]

De toute façon, ce que dit L.A. (à savoir que b=a²), ça torche l'exo en une ligne vu que ça signifie que =.

Mais, si ce n'était pas le cas, vu que a et b commutent, le sous groupe engendré par a et b c'est l'ensemble des avec n et m dans et, vu que a est d'ordre 4 et b d'ordre 2, il suffit de prendre et ce qui ne correspond pas du tout à ce que tu as écrit.
Par exemple, de mettre b² et a²b² dans ton sous groupe aprés avoir écrit que b était d'ordre 2, ben c'est... pas trés futé...