Permutation et transpositions

[MC91]

Bonsoir,
J'ai une permutation

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 8 3 2 9 1 10 4 6 7

On me demande tout d'abord de décomposer la permutation en produit de cycles. Ca ça va, j'ai trouvé (1 5 9 6) (2 8 4) (7 10)

On me demande ensuite de décomposer la permutation en produit de transpositions. C'est là que ça bloque.
Malgré des exemples que j'ai trouvé sur le net, je ne comprends pas la méthode pour décomposer la permutation de cette manière...
J'aurai dit (1 5) (2 8) (4 2 ) (5 9) (6 1) (7 10) (8 4) (9 6) , mais sans grande conviction. D'ailleurs, l'ordre des transpositions les unes par rapport aux autres est il important? La transposition (1 2) est elle la même que la transposition (2 1)?

Merci d'avance pour votre aide.

[ev85]

Bonsoir,
J'ai une permutation

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 8 3 2 9 1 10 4 6 7

On me demande tout d'abord de décomposer la permutation en produit de cycles. Ca ça va, j'ai trouvé (1 5 9 6) (2 8 4) (7 10)

On me demande ensuite de décomposer la permutation en produit de transpositions. C'est là que ça bloque.
Malgré des exemples que j'ai trouvé sur le net, je ne comprends pas la méthode pour décomposer la permutation de cette manière...
J'aurai dit (1 5) (2 8) (4 2 ) (5 9) (6 1) (7 10) (8 4) (9 6) , mais sans grande conviction. D'ailleurs, l'ordre des transpositions les unes par rapport aux autres est il important? La transposition (1 2) est elle la même que la transposition (2 1)?

Merci d'avance pour votre aide.

Bonsoir.

(1 2) = (2 1), ce n'est pas trop difficile, je pense.

L'ordre a une importance mais deux permutations de supports disjoints commutent.

Que vaut le produit (2 8)(8 4) ?

[MC91]

Pour moi il vaut (2 4).

Comment ça, l'ordre a une importance mais deux permutations de supports disjoints commutent? Pourrais tu me donner des exemples?

Si je reprend mon exemple, cela donnerait (1 5) (4 2 ) (7 10) ?

[Judoboy]

Fais un dessin avec un polygone régulier à n côtés dont tu permutes les sommets.

[wserdx]

Hum, il faudrait que tu revoies les définitions





donc

[MC91]

Hum, il faudrait que tu revoies les définitions





donc

Bonsoir,

Je reviens sur ce sujet. Après quelques petits tours sur Internet, j'ai compris pourquoi (2 8)(8 4)=(2 8 4).

Par contre, pour retrouver ce (2 8 4), je suis obligée d'écrire (2 8)(8 4) sous forme

1 2 3 4 5 6 7 8
1 8 3 4 5 6 7 2

1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 8 5 6 7 4

et ensuite de faire la composition de ces 2 permutations.

Peut être y a t il une méthode plus rapide et plus simple pour calculer cela? Je n'ai pas de cours sur ce chapitre, j'essaie juste de comprendre avec les exemples que je trouve sur Internet...

D'ailleurs, il y a d'autres trucs que je n'ai pas trop compris, on dit qu'une permutation peut se décomposer en produits de transpositions. Pourtant, c'est une composition de transpositions, et pas un produit... Pourquoi dit on cela alors?

Autre chose, (fog)^2 = f^2 o g^2 ? Ca me parait logique mais bon, vu que je n'ai jamais vu cette définition je voudrais une confirmation...

Merci d'avance.

Bonne soirée

[Luc]

Bonsoir,

D'ailleurs, il y a d'autres trucs que je n'ai pas trop compris, on dit qu'une permutation peut se décomposer en produits de transpositions. Pourtant, c'est une composition de transpositions, et pas un produit... Pourquoi dit on cela alors?

L'ensemble des permutations d'un ensemble donné forme un groupe, muni de la loi de composition des permutations. On dit "produit" par abus de langage, on considérant que la loi de groupe (la "multiplication") est la composition.
Lorsque l'ensemble est fini de cardinal n, les permutations forment un groupe fini de cardinal n!, appelé groupe symétrique. Il y a deux résultats majeurs de "factorisation" des permutations au sens de cette loi:
- la décomposition en produit de cycles (à supports disjoints)
- la décomposition en produit de transpositions

Autre chose, (fog)^2 = f^2 o g^2 ? Ca me parait logique mais bon, vu que je n'ai jamais vu cette définition je voudrais une confirmation...

Dans un cadre général, c'est faux. (fog)^2 = (fog)o(fog) et f^2 o g^2 = (fof)o(gog).
C'est vrai si f et g commutent (ie fog=gof ).