Groupe symétrique

[barbu23]

Bonjour à tous,
J'ai du mal à visualiser concrètement, qu'un se décompose en produits de transpositions.
Pouvez vous me donnez un exemple concret d'une telle décomposition ?
Par exemple :
avec :
( composition de deux cycles ).
Quelle est la décomposition du cycle en produits de transpositions ?
Parce que, les supports des transpositions ne sont pas disjoints. Donc, je ne comprends pas comment se fait la décomposition.
Merci d'avance.

[cuati]

Bonjour,
(2,4)(4,3)(3,7)(7,5) me semble bien.
Pour bien voir les choses tu peux commencer par plus simple encore, par exemple : (1,2,3), vérifie que c'est bien (1,2)(2,3)

[barbu23]

Bonjour @Cuati :
Quel point commun existe entre ton raisonnement et le raisonnement suivant :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,781170
Je ne comprends pas encore bien ce concept de décomposition en transpositions.
Merci d'avance. :happy3:

[cuati]

Ça n'est pas tout à fait la même méthode. Dans la méthode de ton lien, on essaye de passer de la ligne du haut à la ligne du bas de étape par étape à l'aide de transpositions.
En ce qui me concerne, pour le cycle (2,4,3,7,5) je suis parti de la fin : le 7 va à la place du 5 donc (7,5) puis le 3 à la place du 7 donc la transposition à faire en second est (3,7), on obtient en composant (3,7)(7,5) et on continue pour au final avoir (24)(43)(37)(75), ce qui donne en définitive le même résultat que ce qui est écrit dans ton lien : (25)(32)(73)(42), la décomposition n'étant pas unique, seule la parité l'est.

[Luc]

Salut,

en fait tu mélanges deux résultats :

1- toute permutation se décompose en produit de cycles à supports disjoints. (la décomposition est unique à l'ordre des facteurs près, qui commutent.)

2- toute permutation se décompose en produit de transpositions. Les supports des transpositions ne sont alors pas disjoints (sauf s'il n'y a pas d'orbite de longueur > 2)

Habituellement, pour démontrer 2, on commence par démontrer 1., puis on utilise que le p-cycle est égal au produit

Bonjour à tous,
J'ai du mal à visualiser concrètement, qu'un se décompose en produits de transpositions.
Pouvez vous me donnez un exemple concret d'une telle décomposition ?
Par exemple :
avec :
( composition de deux cycles ).
Quelle est la décomposition du cycle en produits de transpositions ?
Parce que, les supports des transpositions ne sont pas disjoints. Donc, je ne comprends pas comment se fait la décomposition.
Merci d'avance.