Le Groupe Symetrique

[daleny]

Bonjour alors voila j'ai un exo et comme j'ai raté quelques cours je suis un peu largué la alors si quelqu'un peu m'apporté son aide je le remercie.

"On va démontrer que le groupe symetrique Sn est un groupe pour la loi de composition o.
1. Calculer (23154)o(23415)
2. Démontrer que pour tout h,r appartenant a Sn, alors h o r appartient a Sn
3. Démontrer que o est associative
4.Démontrer que o admet un élément neutre.
..." c'est le début de l'exo...

Bon déja je sais pas comment faire la question 1, je connait f o g(x) mais la avec des entier je comprend pas ! qu'elle est l'operation a faire ?

Merci

[Joker62]

Bonsoir.

Suffit d'appliquer les entiers de 1 à 5 au machin.
Exemple avec 1 :

L'image de 1 par la parenthèse de gauche est 5, l'image de 5 par la parenthèse de droite est 4
Donc l'image de 1 est 4.
Trouve les images et après écrit la permutation en question.

[daleny]

c'est a dire je regarde les images ? comme ça:
4<-5 et 4->1 donc l'image de 4 c'est 5 ??

[Ben314]

Si tu as raté des cours, il risque de te manquer des définitions.
ce que l'on note (23154) s'appelle un cycle : c'est la fonction f de {1..5} dans lui même définie par :
f(2)=3 ; f(3)=1 ; f(1)=5 ; f(5)=4 ; f(4)=2 ; (on revient au premier)
Si certain nombres sont absent de la parenthése, cela signifie que leur image c'est eux même. par exemple le cycle (351) désigne la fonction g telle que :
g(3)=5 ; g(5)=1 ; g(1)=3 ; et aussi g(2)=2 ; g(4)=4

[daleny]

Ok et bien effectivement il me manqué un morceau

Donc l'image de 5 c'est 1 et l'image de 4 c,est 5 dans l'opération ? C'est bien ça ?

[Ben314]

Fait aussi attention, Joker62 c'est un peu embrouillé les pinceaux :
Quand on doit calculer FoG(X), partant de X, il faut commencer par calculer G(X). (dans son exemple, il a commencé par F...)

[Ben314]

non, ce n'est pas ca, mais je pense que tu as du faire comme Joker....

[daleny]

ok je crois que j'ai pigé donc j'ai un truc comme ça :
f o g

fog(1)->4
_(2)->1
_(3)->2
_(4) ->5
_(5)->3

c'est bien ça ?
mais alors de quelle forme est le résultat au final ??

[Joker62]

Je voulais dire droite à la place de gauche et gauche à la place de droite.
Deviendrais-je complètement sot ? =p

[daleny]

Bon en fait j'ai trouvé ça fait 31524
Maintenant :

2. Démontrer que pour tout h,r appartenant a Sn, alors h o r appartient a Sn

La pareil ! je vois pas trop comment montrer ça ! En meme temps ça me semble normal que hor appartiennent a Sn mais pourquoi ?

[Ben314]

La seule réponse qui me vient à l'esprit consiste un peu à "remuer de l'air" :
On sait que la composée de deux bijections est une bijection donc....
(je pense pas qu'il faille redémontrer ce résultat dans l'exercice, mais peut-être me trompe-je...)

[Ben314]

Par contre, pour la composée, je trouve pas ça :
La fonction "de droite" fait 3->4
Celle "de gauche" fait 4->2
donc la composée fait 3->2 alors que ta réponse dit qu'elle fait 3->1...

[daleny]

Si tu as raté des cours, il risque de te manquer des définitions.
ce que l'on note (23154) s'appelle un cycle : c'est la fonction f de {1..5} dans lui même définie par :
f(2)=3 ; f(3)=1 ; f(1)=5 ; f(5)=4 ; f(4)=2 ; (on revient au premier)
Si certain nombres sont absent de la parenthése, cela signifie que leur image c'est eux même. par exemple le cycle (351) désigne la fonction g telle que :
g(3)=5 ; g(5)=1 ; g(1)=3 ; et aussi g(2)=2 ; g(4)=4

Le prof nous a expliqué vitefait comment ça marché et il nous a dit que pour l'intervalle {12345} on avait genre
g:(23415) avec g(1)=2,g(2)=3,g(3)=4,g(4)=1 et g(5)=5 ie a chaque fois l'image par rapport a 12345 dans cet ordre la .