Groupe symétrique
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Groupe symétrique
par euclide » 28 Oct 2007, 11:00
Bonjour, je me demande comment peut-t-on montrer que dans le groupe symétrique 
tout élément est conjugué à son inverse.
par euclide » 28 Oct 2007, 11:48
En fait mon énoncé est écrit comme ca, maintenant moi je pense que cela signifie que :
de sorte que sigma est conjugué à son inverse, mais en fait c'est vrai je suis pas sûr que ce soit ca.
de sorte que sigma est conjugué à son inverse, mais en fait c'est vrai je suis pas sûr que ce soit ca.
par euclide » 28 Oct 2007, 11:56
Et pour démontrer ca vous avez des idées, j'avais pensé passer par la décomposition en produit de transposition de sigma et et son inverse mais j'arrive pas a aboutir.
par euclide » 28 Oct 2007, 12:02
Je suis pas sûr parce-que si on prend rhô=sigma alors on trouve que sigma est égale à son inverse ce qui n'est pas vrai...
par tize » 28 Oct 2007, 12:26
Déjà tu peux essayer de le montrer pour un cycle et ensuite essaye de généraliser pour un produit de cycles à supports disjoints.
par euclide » 28 Oct 2007, 13:24
j'y arrive pour un cycle à 4 éléments mais au-delà ca ne marche plus. J'ai pas d'idées...
par namfoodle sheppen » 28 Oct 2007, 15:24
tu décompose ta permutation en produit de cycle à support distincts, comme ça on a juste a travailler sur un cycle. On l'écrit S=(a1,a2,...,ap); on considère la permutation t: ai --> a(p-i+1). C'est une involution et on a donc :
Soit i entre 1 et p. On a toS^(-1)ot^(-1)(ai)=toS^(-1)(a(p-i+1)=to(a(p-i))=a(p-(p-i)+1)=a(i+1)=S(ai).
Je suis vraiment désolé je suis une quiche en info je comprends rien à Latex. Dis moi si c'est incompréhensible je demanderai de l'aide pour la rédaction ;).
Soit i entre 1 et p. On a toS^(-1)ot^(-1)(ai)=toS^(-1)(a(p-i+1)=to(a(p-i))=a(p-(p-i)+1)=a(i+1)=S(ai).
Je suis vraiment désolé je suis une quiche en info je comprends rien à Latex. Dis moi si c'est incompréhensible je demanderai de l'aide pour la rédaction ;).
par ThSQ » 28 Oct 2007, 16:21
C'est peut-être la même réponse que namfoodle sheppen mais :
La décomposition en cycles disjoints de
s'obtient en remplaçant 
par )
dans la décompostion de 
:
) = rsr^{-1} (r(i)) = ... = r(s(i)))
, en d'autres termes est à "gauche" de ))
alors que est à "gauche" de )
dans la décomposition en cycles de s.
Par exemple(35) r^{-1} = (r(1) r(2) r(4))(r(3)r(5)))
Sachant que^{-1} = (421))
(et pareil plus généralement) c'est facile de trouver un r tel que 
La décomposition en cycles disjoints de
Par exemple
Sachant que
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