Groupe symétrique

par **magnum** » 30 Juil 2009, 22:45

Bonsoir,

J'essaie de vérifier que Sn n'est pas commutatif, pour cela j'ai les deux exemples suivants,

(1,2)(1,3) et (1,3)(1,2) mais je n'ai pas dû bien comprendre les notations et comment cela marchait car je n'arrive pas à le démontrer! Si quelqu'un pouvait me détailler un peu la démarche, ça sera sympa.

Merci.

par **Zavonen** » 30 Juil 2009, 23:17

Les notations ne sont pas très orthodoxes.
Je crois qu'il faut comprendre (1,2) comme la transposition qui échange 1 et 2 en laissant 3 en place et de même pour (1,3).
Il faut aussi comprendre (1,2)(1,3) comme étant la composée des deux.

par **magnum** » 30 Juil 2009, 23:33

oui, c'est bien ce que j'ai voulu dire mais je n'arrive pas à trouver le résultat, en fait je vois pas trop ce qu'est une composé de permutation, si tu pouvais m'expliquer avec cet exemple :happy2:

par **Zavonen** » 31 Juil 2009, 06:35

L'image de 1 par (1,2)(1,3) est 2
l'image de 1 par (1,3)(1,2) est 3
Les deux transformations ne sont pas identiques.
Pour réviser, les applications, les permutations, la composition, je te conseille la consultation de:
Applications

par **skilveg** » 31 Juil 2009, 09:46

Zavonen:
- si, la notation

est "orthodoxe": c'est la décomposition en cycles d'une transposition.
- tu composes tes permutations dans le mauvais sens. Si

et

sont deux permutations, par définition,

, ce qui signifie

.

Magnum, tu es en quelle classe?

par **prody-G** » 31 Juil 2009, 10:56

Zavonen a écrit:L'image de 1 par (1,2)(1,3) est 2
l'image de 1 par (1,3)(1,2) est 3
Les deux transformations ne sont pas identiques.

Je dirais que c'est plutôt l'inverse :we:

par **Zavonen** » 31 Juil 2009, 12:21

Je dirais que c'est plutôt l'inverse

Parfaitement exact, sorry! :briques:

par **Zavonen** » 31 Juil 2009, 12:32

- si, la notation (a,b) est "orthodoxe": c'est la décomposition en cycles d'une transposition.

Comment savoir sur quel ensemble opère (1 3) ???
Une notation 'correcte' me paraît (3 2 1)

par **skilveg** » 31 Juil 2009, 13:33

Non:

est un 3-cycle. Pour ce qui est de l'ensemble agi, par exemple,

agit sur tous les

pour

, et ça ne pose pas de problème. De toute façon le contexte est toujours assez clair pour savoir où vivent les permutations considérées. Pour spécifier l'ensemble sous-jacent, on peut utiliser la notation peu économique

.

Pour rappel, le

-cycle

envoie

sur

et fixe tous les autres points.

par **magnum** » 31 Juil 2009, 14:09

dans le bouquin ils mettent

(1,2)(1,3)=(3,2,1)

or 1-->3-->3
2-->2-->1
3-->1-->2

je trouve donc (3,1,2) où l'erreur ??!!

Je suis en prépa hec.

par **skilveg** » 31 Juil 2009, 15:07

Non! Tu trouves

donc ça donne

ou encore

. On lit de gauche à droite.

(Ce que tu écrivais c'était

.)

par **Zavonen** » 31 Juil 2009, 15:51

on peut utiliser la notation peu économique.

Je pense qu'en l'occurrence on DOIT le faire.
Quel est le problème de Magnum ?
Constater, sur un exemple simple, que la composition des applications n'est pas commutative. Ce n'est pas de décomposer en cycles ou en transpositions.
La notation 'lourdingue' est à mon avis la plus adaptée pour ne pas demander des efforts d'imagination dépassant la nature du problème posé.

par **skilveg** » 31 Juil 2009, 18:10

Zavonen a écrit:Je pense qu'en l'occurrence on DOIT le faire.
Quel est le problème de Magnum ?
Constater, sur un exemple simple, que la composition des applications n'est pas commutative. Ce n'est pas de décomposer en cycles ou en transpositions.

Tu t'énerves tout seul là, il me semble qu'au début tu contestais juste le fait de noter

une transposition. Effectivement, là on n'a pas besoin de décomposer quoi que ce soit, d'ailleurs tu noteras que je n'en ai pas parlé.

La notation 'lourdingue' est à mon avis la plus adaptée pour ne pas demander des efforts d'imagination dépassant la nature du problème posé.

Comme tu y vas :lol5: La notation 'lourdingue' d'une transposition, c'est

ou

? Dans les deux cas je n'en vois toujours pas l'intérêt profond. Ou alors tu parles de la notation de la composée? Pour te paraphraser, on n'en a même pas besoin, on a juste besoin de trouver un point qui a deux images distinctes. Ce que demandait Magnum, c'était qu'on explique son contre-exemple, pas qu'on exprime explicitement le produit de ses deux transpositions.

par **YLS** » 02 Aoû 2009, 14:20

Juste une précision :

n'est pas commutatif lorsque

, car pour

,

contient deux permutations : l'identité

qui envoie 1 sur 1 et 2 sur 2, et la permutation qui échange 1 et 2, que l'on note

.
On a clairement :

, donc

est commutatif.

De manière générale, le groupe symétrique

d'un ensemble

n'est pas commutatif dès que

.

par **magnum** » 02 Aoû 2009, 14:37

t'es partout YLS ^^

En tout cas oui, t'as raison.

par **YLS** » 02 Aoû 2009, 14:50

magnum a écrit:t'es partout YLS ^^

En tout cas oui, t'as raison.

Oui, mais pas dans les mêmes proportions

Est-ce que par hasard tu serais en train de travailler sur les groupes, ou sur le déterminant?

par **magnum** » 02 Aoû 2009, 16:23

Sur les déterminants, je trouve que c'est le chapitre le plus dur de sup d'ailleurs (enfin pour l'instant).

par **YLS** » 02 Aoû 2009, 18:47

Ok, c'est bon à savoir. Je viens justement de finir le chapitre sur les structures algébriques (groupes, anneaux et corps) et j'allais commencer celui sur le déterminant.

par **alavacommejetepousse** » 03 Aoû 2009, 22:06

YLS a écrit:Ok, c'est bon à savoir. Je viens justement de finir le chapitre sur les structures algébriques (groupes, anneaux et corps) et j'allais commencer celui sur le déterminant.

bonsoir
y a plus de vacances dans le système scolaire post bac ?

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