Groupe quotient abélien

[CorentinD]

Bonjour !

Je me demandais s'il y avait une stratégie pour montrer que le groupe quotient G/H est abélien ?
En effet, à chaque fois que j'ai cette question je ne sais pas trop comment m'y prendre et comment commencer.

Si quelqu'un a une méthode je suis preneur !

Je vous remercie et je vous souhaite une bonne journée !

Cordialement
Corentin

[GaBuZoMeu]

Tu peux donner des exemples où ça te pose problème ?*
Ça revient à démontrer que le sous-groupe distingué H contient les commutateurs.

[CorentinD]

En fait, je pensais qu'il fallait montrer que le groupe G/H : [tex] (xH).(yH) := (xyH) [\tex] avec (x,y) appartenant à G , est abélien
Donc je pensais qu'il fallait montrer que (xyH)=(yxH)

Mais dans plusieurs exercices que j'ai fait, on prend deux éléments de G/H et on essaye de montrer que gh=hg .
De plus les éléments de G/H on prend des classes.

Par exemple pour montrer que G/D est abélien avec D le sous groupe dérivé de G (sous groupe de G engendré par les commutateurs qu'on note [a,b] par exemple), nous avons pris g et h (leurs classes donc une barre au dessus) appartenant à G/D et on a fait :

g h (barre sur chacunes des classes) = g h (barre sur gh) = [g,h]hg (barre ensemble [g,h]hg) = [g,h] h g (barre sur chacun des membres)

or [g,h] appartient à D et [g,h] (barre sur [g,h]) = e (barre)

donc on a bien que g h (barre sur chacun des éléments)= h g (barre sur chacun des éléments)

[GaBuZoMeu]

Montrer que le quotient est abélien, c'est montrer que, pour tous g,h, le commutateur des classes de g et h est l'élément neutre. Mais le commutateur des classes de g et h est la classe du commutateur de g et h. Donc ça revient à montrer que tous les commutateurs sont dans le sous-groupe distingué par lequel on quotiente.

[CorentinD]

Mais le commutateur des classes de g et h est la classe du commutateur de g et h.

Excusez moi mais je parviens pas écrire votre phrase en langage mathématique.
Je pense avoir compris que la classe du commutateur de g et h est [g,h] (barre sur l'ensemble de [g,h])

Est-ce que votre phrase veut dire que : g h (barre sur chacunes des classes) = [g,h] h g (barre sur chacun des membres) ?

Donc ça revient à montrer que tous les commutateurs sont dans le sous-groupe distingué par lequel on quotiente

Si on prend G un groupe et H un sous groupe distingué de G
En quelque sorte il faut montrer que pour tout a et b appartenant à G [a,b] appartient à H ?

[CorentinD]

Je vais donner un autre exemple :

Soit G un groupe, C est le sous groupe distingué de G engendré par l'ensemble {a^2 | a appartient à G}

Si je veux aussi montrer que G/C est abélien.

Le commutateur est-ce encore [g,c] ?

[GaBuZoMeu]

Je dis simplement que . D'accord avec ça ? (Il suffit de revenir à la définition du commutateur)

Un groupe est abélien si et seulement si tous ses commutateurs sont égaux à l'élément neutre.
Donc G/H est abélien si et seulement si tous les commutateurs de G sont dans H.

[CorentinD]

Je dis simplement que . D'accord avec ça ? (Il suffit de revenir à la définition du commutateur)

Totalement d'accord !

Un groupe est abélien si et seulement si tous ses commutateurs sont égaux à l'élément neutre.
Donc G/H est abélien si et seulement si tous les commutateurs de G sont dans H.

Je ne vois cependant pas bien comment vous pouvez en déduire la seconde phrase. En effet si pour a et b appartenant à G/H on a [g,h]=e (avec les barres comme il faut)
Donc ghg-1h-1=e donc gh=hg (toujours avec les barres)
Mais du coup je ne comprends pas les commutateurs de G sont dans H ....

[GaBuZoMeu]

Relis posément ça :

Montrer que le quotient est abélien, c'est montrer que, pour tous g,h, le commutateur des classes de g et h est l'élément neutre. Mais le commutateur des classes de g et h est la classe du commutateur de g et h. Donc ça revient à montrer que tous les commutateurs sont dans le sous-groupe distingué par lequel on quotiente.

(Dire que la classe du commutateur de g et h est l'élément neutre du groupe quotient, c'est dire que le commutateur de g et h appartient au sous-groupe distingué poar lequel on quotiente).

Sinon. les commutateurs sont dans le sous-groupe distingué engendré par les carrés :
.

[CorentinD]

(Dire que la classe du commutateur de g et h est l'élément neutre du groupe quotient, c'est dire que le commutateur de g et h appartient au sous-groupe distingué poar lequel on quotiente).

Oui ! Excusez-moi j'avais ma lu "la classe du commutateur de g et h " et " le commutateur de g et h"

Si je résume pour montrer que G/H est abélien soit :
1) je montre que la classe du commutateur de g et h est l'élément neutre du groupe quotient G/H
2) je montre que le commutateur de g et h appartient au sous-groupe distingué par lequel on quotiente

Si je reprends l'exemple précédent avec C sous groupe distingué de G et C=<{a^2}>
Si je prend la 2) méthode :
le commutateur de g et h peut s'écrire comme vous le dites :

aba^-1b^-1 = a^2(a^-1ba^-1b)b^-2
Donc je veux montrer que ceci appartient à C = <{a^2}>
Or je vois bien que a^2 et b^-2 appartiennent à C mais je ne vois pas que (a^-1ba^-1b) appartient à C ...

De plus, je me demandais comment vous avez trouver l'égalité ? est ce par "intuition" parce que C=<{a^2}> ?

[GaBuZoMeu]

C'est vrai, tu ne vois pas que est un carré ?
Tu ne dois pas avoir les yeux en face des trous.

[CorentinD]

J'ai compris merci