Géométrie

[MacManus]

Bonsoir,

J'ai un énoncé de géométrie qui me pose problème :

1. Tracer quelques cercles du faisceau défini par les deux cercles suivants :

C1 :
C2 :

2. Quels sont ses points limites ?
3. Quelle est l'image du faisceau précédent par l'inversion par rapport au cercle C2 ?


Je sais que l'équation d'un cercle de centre (a,b) et de rayon r >=0 a pour équation :

C :
C:

donc

C1 :
donc :


C2 :
donc :


Questions

L'équation de l'axe radical de C1 et C2 est-elle :
????
cad : y = -11/4
Comment tracer ensuite les faisceaux par rapport a cet axe ?

! Merci beaucoup pour votre aide !

[Quidam]

C'est un peu loin tout ça pour moi. Mais si j'ai bonne mémoire, les points limites sont sur l'axe de symétrie commun aux deux cercles et forment avec les deux points d'intersection de chaque cercle avec cet axe une division harmonique.

L'axe de symétrie est l'axe des ordonnées (x=0). Tu n'as qu'a exprimer que les deux points cherchés, d'ordonnées et sont d'une part en division harmonique avec les deux points d'intersection du cercle avec l'axe de symétrie, d'autre part en division harmonique avec les deux points d'intersection du cercle avec l'axe de symétrie. Il me semble qu'avec les deux formules trouvées, tu peux trouver et , non ?

[MacManus]

Salut Quidam et merci pour ta réponse

Heureusement j'ai un dessin illustrant ce cas de faisceaux à points limites.
Il y a juste une petite chose qui me parait étrange où alors je n'ai pas les idées très claires ^^

l'axe de symétrie est bien l'axe des ordonnées je suis d'accord ("x=0"), mais les "points limites" dont tu parles seraient en fait situés également sur la droites des centres des cercles C1 et C2, droite donc qui est axe de symétrie. Mais la droite des centres et l'axe radical ne sont-ils pas perpendiculaires (en général) ?

Sinon je vais faire comme tu as dit
Merci !

[Maxmau]

Bonsoir,

J'ai un énoncé de géométrie qui me pose problème :

1. Tracer quelques cercles du faisceau défini par les deux cercles suivants :

C1 :
C2 :

2. Quels sont ses points limites ?
3. Quelle est l'image du faisceau précédent par l'inversion par rapport au cercle C2 ?


Je sais que l'équation d'un cercle de centre (a,b) et de rayon r >=0 a pour équation :

C :
C:

donc

C1 :
donc :


C2 :
donc :


Questions

L'équation de l'axe radical de C1 et C2 est-elle :
????
cad : y = -11/4
Comment tracer ensuite les faisceaux par rapport a cet axe ?

! Merci beaucoup pour votre aide !

Bonsoir

Lorsque l’équation de 2 cercles sont sous la forme
f(x,y) = x² +y² -2ax -2by +c
g(x,y) = x² +y² -2a’x -2b’y +c’
L’équation de l’axe radical est f(x,y) – g(x,y) = 0
Ici f(x,y) = x² +y² -2y -8 et g(x,y)= x² +y² -1
L’axe radical a pour équation : -2y -8 = -1 soit encore y = -7/2

Les cercles du faisceau sont les cercles f(x,y) + g(x,y) = 0 réel

L’axe du faisceau (la droite contenant les centres) est bien entendu l’axe y'y

Les points limites I et J sont les 2 cercles du faisceau de rayon nul (lorsqu’ils existent)

Les cercles du faisceau sont alors les cercles centrés sur x’x (l’axe du faisceau) qui divisent harmoniquement le segment IJ

Précise mieux l’inversion (pole ,puissance)

[Maxmau]

Salut Quidam et merci pour ta réponse

Heureusement j'ai un dessin illustrant ce cas de faisceaux à points limites.
Il y a juste une petite chose qui me parait étrange où alors je n'ai pas les idées très claires ^^

l'axe de symétrie est bien l'axe des ordonnées je suis d'accord ("x=0"), mais les "points limites" dont tu parles seraient en fait situés également sur la droites des centres des cerces C1 et C2, droite donc qui est centre de symétrie. Mais la droite des centres et l'axe radical ne sont-ils pas perpendiculaires (en général) ?

Sinon je vais faire comme tu as dit
Merci !

La droite des centres et l'axe radical sont perpendiculaires
Les point limites sont les cercles du faisceau de rayon nul. Ils sont donc sur la droite des centres

[MacManus]

D'accord merci pour ces éléments je comprends ce que tu as dit Maxmau au sujet des équations de cercles et autres définitions.

J'ai dessiné un repère orthonormé (O,i,j) (unité : cm) et dans lequel je place les cercles C1 de centre (0,1) et de rayon 3 et C2 de centre (0,0) et de rayon 1. Je suis tout a fait d'acord pour dire que l'axe du faisceau et l'axe radical sont perpendiculaires. Cependant, l'axe des abscisses xx' (axe du faisceau) passe par le point (0,0) centre de C2 mais pas par le centre de C1. En revanche l'axe des ordonnées yy' est mon axe des centres.
L'axe yy' de mon repère joue le rôle de l'axe des centres.
L'axe radical d'équation -7/2 est donc parallèle à mon axe des abscisses.

Je dois confondre les axes où mal représenter mon faisceau
Je me perd tout seul j'ai l'impression! :/

On peut m'aider?
Merci beaucoup

[jeje56]

Ne désespère pas MacManus tu es sur la bonne voie... ;-)

[Maxmau]

Non c'est moi qui ai dit une sottise
L'axe du faisceau (la droite des centres) est l'axe y'y d'équation x = 0

Recalcule le centre et le rayon de C1

L'équation de C1 est : x² + (y-1)² = 9

[MacManus]

Ahh dans ce cas je revis merci.

Si je connais différentes manières d'exprimer la puissance d'un point par rapport à un cercle, en revanche je ne comprend pas bien le mot inversion..(par rapport à C2).

par exemple :

la puissance d'un point M(x,y) par rapport à un cercle de centre A(a,b) et de rayon r vérifie l'équation :

[MacManus]

Ok je recommence pas de pb

Oui autant pour moi
C1 est bien le cercle de centre (0,1) et de rayon r = 3
son centre (0,1) est d'ailleurs l'un des 2 points d'intersection de C2 avec l'axe des centres y'y (axe du faisceau)

[MacManus]

Construction des "points limites" I et J:

axe radical :
axe du faisceau :

H : projeté orthogonal de O (origine du repère et centre de C2) sur

Je choisis un point sur C1 et un point sur C2 tels que :
le cercle de centre H et de rayon coupe en I et J et où les rayons respectifs de C1 et C2 coupent perpendiculairement le rayon du cercle de centre H. J'ai donc construit mes "points limites".
Ce cercle de construction est orthogonal à C1 et à C2.
On a


Construction du faisceau :

je peux donc par construction (par symétrie centrale par rapport au point H construire d'autre cercles du faisceau, symétriques de C1 et C2 par rapport a

Je ne sais pas si mon raisonnement est rigoureux ou même si c'est vraiment ce qu'on me demande. Je ne sais pas s'il faut calculer les coordonnées de I et J...

Je ne sais pas non plus comment construire l'image du faisceau que j'ai trouvé par l'inversion par rapport au cercle C2 !

Je vais avoir besoin d'aide
Merci à vous !

[Maxmau]

Je ne comprends ta construction des points limites
j'y reviendrai

[MacManus]

En fait j'ai quasiment la même construction que ci-dessous (Wikipédia) :



dans notre cas:

les points U et V sont respectivement I et J (points limites)
K est
T est
l'axe bleu sur la figure est mon axe radical
[...]

On voit que la puissance du point H (donc K sur la figure) par rapport à tous les cercles du faisceau est constante

[MacManus]

C'est un peu loin tout ça pour moi. Mais si j'ai bonne mémoire, les points limites sont sur l'axe de symétrie commun aux deux cercles et forment avec les deux points d'intersection de chaque cercle avec cet axe une division harmonique.

L'axe de symétrie est l'axe des ordonnées (x=0). Tu n'as qu'a exprimer que les deux points cherchés, d'ordonnées et sont d'une part en division harmonique avec les deux points d'intersection du cercle avec l'axe de symétrie, d'autre part en division harmonique avec les deux points d'intersection du cercle avec l'axe de symétrie. Il me semble qu'avec les deux formules trouvées, tu peux trouver et , non ?

Il faut que je trouve les ordonnées et de I et J respectivement .Or je connais leurs abscisses . Donc à l'aide de a formule de l'équation d'un cercle (rayon nul !), je peux placer I et J sur l'axe des centres de manière précise...??

[Maxmau]

En fait j'ai quasiment la même construction que ci-dessous (Wikipédia) :



dans notre cas:

les points U et V sont respectivement I et J (points limites)
K est
T est
l'axe bleu sur la figure est mon axe radical
[...]

On voit que la puissance du point H (donc K sur la figure) par rapport à tous les cercles du faisceau est constante

C'est OK

Je communique quand même le topo que j'avais préparé

Je fais le point

1/ puissance d’un point par rapport à un cercle
: cercle de centre et de rayon R
La puissance du point M par rapport à est le nombre M;)² - R²
Notation : p(M / ) = M;)² - R²
Remarque : si T est le contact de la tangente à issue de M alors : p(M / ) = MT²

En repère orthonormé, si le cercle a pour équation f(x,y) = x² + y² - 2ax – 2by +c = 0
Alors la puissance / du point (x0 , y0) est égale à f(x0,y0)

2/ axe radical
2 cercles C1(O1,R1) et C2(O2,R2) tq O1 distinct de O2
D’équations respectives :
f1(x,y) = x² + y² -2a1x -2b1y +c1
f2(x,y) = x² + y² -2a2x -2b2y +c2
L’axe radical de C1 et C2 est l’ensemble des points ayant même puissance / C1 et C2
D’après 1 : c’est la droite d’équation f1(x,y) = f2(x,y)
L’axe radical est perpendiculaire à la droite des centres

3 : Faisceau engendré par C1 et C2
Il est dit à points limites lorsque les cercles C1 et C2 ne se coupent pas
L’axe radical coupe alors la droite des centres en un point H extérieur aux 2 cercles
Soit T le point de contact de la tangente à C1 ( ou C2 ça revient au même) issue de H
La puissance de H / C1 ( et aussi / n’importe quel cercle du faisceau) est égale à HT²
Le cercle de centre H et de rayon HT coupe la droite des centres en I et J les points limites du faisceau
4/ Inversion
C’est une transformation géométrique involutive du plan complété par un point à l’infini
Inv(O,p) (inversion de pole O et de Puissance p ) transforme M en M’ de la manière suivante :
O,M,M’ sont alignés et OM.OM’ = p ( ici OM = mesure algébrique de OM )
Elle transforme O en le point à l’infini et le point à l’infini en O

Une droite passant par le pole est globalement invariante
Un cercle passant par le pole est transformé en une droite
Un cercle ne passant pas par le pole est transformé en un cercle
Une droite ne passant pas par le pole est transformé en un cercle passant par le pole
L’ inversion conserve le contact et l’orthogonalité

Je ne comprends pas la question de l’exo où il est question d’inversion

[Maxmau]

Il faut que je trouve les ordonnées et de I et J respectivement .Or je connais leurs abscisses . Donc à l'aide de a formule de l'équation d'un cercle (rayon nul !), je peux placer I et J sur l'axe des centres de manière précise...??

Ok
ou alors tu sais calculer la puissance p de H par rapport à un cercle du faisceau. Tu connais les coord de H, tu connais HI = HJ puisque HI²= HJ²=p
Il n'est pas difficile d'en déduire les coordonnées de I et J

Les 2 méthodes marchent bien

[MacManus]

Ok Maxmau et merci infiniement pour ce résumé!
Je suis entièrement d'accord pour les points 1. 2. 3.
Il me reste à regarder de plus près le point 4. sur l'inversion

..et à Calculer I et J

[Maxmau]

Ok Maxmau et merci infiniement pour ce résumé!
Je suis entièrement d'accord pour les points 1. 2. 3.
Il me reste à regarder de plus près le point 4. sur l'inversion

..et à Calculer I et J

Je récris ta question 3
3. Quelle est l'image du faisceau précédent par l'inversion par rapport au cercle C2 ?

Il s'agit très certainement de l'inversion dont le pole est le centre du cercle C2 (cad O) et dont la puissance est le carré du rayon du cercle C2 (cad 1);
cette inversion transforme le cercle C2 en lui-même

[MacManus]

Soient les points : H(0,-7/2), (0,1) le centre de C1, (0,0) le centre de C2, T (point de contact avec C1 ou C2)
Soient : R1 = 3 (rayon de C1) R2 = 1 (rayon de C2)

La puissance du point H par rapport à un cercle du faisceau (C2 par exemple) est bien définie par :
(implique que HI = HJ)

je ne sais plus exactement comment calculer ces distances avec les coordonnées cartésiennes.......c'est bien, pour la formule ci-dessus, la relation suivante ?
cad:
?

c'est bizarre nan?

Merci

[Maxmau]

Soient les points : H(0,-7/2), (0,1) le centre de C1, (0,0) le centre de C2, T (point de contact avec C1 ou C2)
Soient : R1 = 3 (rayon de C1) R2 = 1 (rayon de C2)

La puissance du point H par rapport à un cercle du faisceau (C2 par exemple) est bien définie par :
(implique que HI = HJ)

je ne sais plus exactement comment calculer ces distances avec les coordonnées cartésiennes.......c'est bien, pour la formule ci-dessus, la relation suivante ?
cad:
?

c'est bizarre nan?

Merci

Non ce n'est pas bizarre. C'est ça