Géométrie

[Trident]

Bonjour à tous, j'ai un petit exo de géométrie à faire et j'ai quelques questions notamment au niveau de la rédaction.



Il faut démontrer que (IJ) , (JK) , puis (BD) sont parallèles.
Pour cela, on introduit l'homothétie de centre A telle que h(L)= D, c'est à dire l'homothétie suivante :


Il faut ensuite démontrer que h(I)=B.
Pour cela, je veux démontrer que h(I) est dans (AB) mais aussi dans (BC) et donc forcément h(I)=B.

Premièrement, l'image de la droite (AB) : On a h( (AB) ) = ( h(A)h(B) ) = (Ah(B)) et (Ah(B)) est parallèle à (AB) (l'homothétie transforme une droite en une droite parallèle) donc (Ah(B))=(AB).

Ensuite, la droite D, parallèle à (AB) passant par M est aussi parallèle à (DC) car nous sommes dans un parallélogramme. Donc on peut utiliser Thalès.







D'où h(I)=B.

Ensuite, la conclusion demande de prouver que les droite (LI) , (DB) et (JK) sont parallèles.
Pour le parallélisme des droites (LI) et (DB), c'est une déduction directe de h(I)=B. Mais pour prouver que (JK) est aussi parallèle aux deux autres, y'a t-il une petite astuce ou faut ressortir un gros raisonnement ?

Merci.

[Doraki]

comment tu fais pour déduire que h(I)=B à partir d'une phrase où ni I ni B ne sont concernés ?

J'aurais plutôt le réflexe de dire :
Soit h l'homothétie de centre A telle que h(L)=D.
h(LM) est la droite parallèle à (LM) passant par h(L) = D, c'est-à-dire (DC)
h(AM) est la droite parallèle à (AM) passant par h(A) = A, c'est-à-dire (AM)
h(M) est l'intersection de h(LM) = (DC) et h(AM) = (AC), c'est-à-dire C
h(MI) est la droite parallèle à (MI) passant par h(M) = C, c'est-à-dire (BC)
h(AI) est la droite parallèle à (AI) passant par h(A) = A, c'est-à-dire (AI)
h(I) est l'intersection de h(MI) = (BC) et h(AI) = (AB), c'est-à-dire B

Pour la doite (JK) il faut faire la même chose mais avec une autre homothétie.
Par exemple tu peux tout recopier mot pour mot tout, en remplaçant A,L,D,M,C,I,B par C,J,D,M,A,K,B

[Trident]

Ah pardon, j'ai pas continuer mon raisonnement. Je dit tout simplement que h(I) est dans l'intersection (AB) inter (BC) donc h(I)=B.

En effet, I est dans la droite (AB) donc h(I) est dans (h(A)h(B))= (Ah(B)) mais une homothétie transforme une droite en une autre droite qui lui est parallèle. Donc (Ah(B)) est parallèle à (AB) et les deux contiennent A donc (Ah(B))=(AB) et donc h(I) est dans (AB).

Par ailleurs, I appartient à la droite passant par M parallèle à (AD). Je la note D'.
On veut calculer l'image de cette droite. Plutôt que de la noter D' , je vais la noter (MJ) car elle contient les deux points qui sont distincts. On a h( (MJ) ) = (h(M)h(J)) et avec l'information que (h(M)h(J)) est parallèle à (MJ).

Sauf que h(M) = A + (AD/AL) AM = A + (AC/AM) AM = A+ AC = C.

Donc la droite (C h(J) ) est parallèle à (MJ). Sauf qu'il existe une unique droite passant par C parallèle à (MJ) et la place est déjà prise par (BC) ... Donc (C h(J)) = (BC) et l'image de la droite (MJ) est (BC) donc h(I) est aussi dans (BC). On conclut ensuite.
Bien sûr, tout ceci n'est pas bien rédigé, c'est juste pour expliquer.

Merci en tout cas Doraki, je vais prendre ta solution plus claire.