Géométrie et projecteur

[Ncdk]

Bonsoir,

On appelle projecteur de une application affine de dans vérifiant

Soit un endomorphisme de vérifiant (on dit que est une projection vectorielle)
1) Montrer que les seules valeurs propres possibles de sont et .
2) Montrer que et que .
3) En déduire que est diagonalisable
4) Que peut-on dire de ? Et de ?
5) (Cas euclidien) En étudiant la fonction pour deux vecteurs et bien choisis, montrer que pour tout si et seulement si et sont orthogonaux. On dit alors que est une projection vectorielle orthogonale.

Tout d'abord, je voulais savoir comment procéder pour la question 1, j'ai donné une réponse, mais ça me parait brouillon...

1) Considérons le polynôme , on voit clairement que ce polynôme est le polynôme annulateur de .
Soit une valeur propre de . Il existe un vecteur de non nul tel que .
Ainsi on a que
On a donc l'égalité suivante : .
Donc
étant supposé non nul, alors est racine du polynôme annulateur.

si et seulement si ou

2) Pas de soucis

3) Je ne sais pas comment démarrer, mais je sais pas non plus comment prouver que c'est diagonalisable, surtout avec ce que j'ai avant.

4) J'aurai dit que ce sont des projecteurs (Prouvé), mais je sais pas si on peut dire autre chose de plus important.

5) Demande réflexion

[Ben314]

Salut,

1), ton truc se mord un peu la queue :
- Soit tu utilise la notion de polynôme annulateur (en écrivant bien sûr que X²-X est un polynôme annulateur et pas que c'est le polynôme annulateur) et tu en déduit immédiatement que pour toute valeur propre de .
- Soit tu utilise pas cette notion et tu fait la petite ligne de calcul pour obtenir le même résultat.
Mais de faire les deux, ça fait très con...

3) Je vois au moins deux méthodes super rapides :
- Connaissant un polynôme annulateur, tu peut en déduire les différents polynômes minimaux possibles et, connaissant le polynôme minimal d'un endomorphisme, pour savoir s'il est ou pas diagonalisable, il suffit de...
- Pour savoir si ton truc est ou pas diagonalisable, il suffit de regarder les s.e.v. propres associés aux valeurs propres : c'est diagonalisable ssi ces s.e.v. sont ... (super rapide à vérifier ici)

4) Tu aurais en partie bien dit (preuve d'une petite ligne)

[Ncdk]

Salut,

Pour la 1) j'avais pas fait gaffe au début, cherchant à faire apparaitre les valeurs propres, j'ai pas fait un retour en arrière pour voir si je disais pas deux fois la même chose.

3) J'ai plus les cours sous la main pour la diagonalisation, mais j'ai pu trouver ce théorème qui ressemble un peu à ce que tu me disais :
Soit une matrice, dont le polynôme caractéristique est scindé. Soient les racines de et leurs multiplicités respectives . La matrice est diagonalisable si et seulement si pour tout , le sous-espace propre associé à la valeur propre est de dimension .


Donc si je comprends bien, je peux calculer le et le , étudier leur dimension respective, et normalement, si tout vas bien ça doit être de dimension un car chaque racine du polynôme caractéristique est de multiplicité 1.

4) Je sais pas si je dois écrire ce que j'ai mit, mais j'ai prouvé que c'était des projecteurs, mais j'avais quelques restes et vu la question je me suis dit qu'on pourrait tester voir si c'était des projecteurs, mais je vois pas le but, ça aide peut-être à la 5)

[Ben314]

Pour le 3), c'est effectivement une des façons de voir si un endomorphisme est ou pas diagonalisable mais ici, l'énoncé tel quel ne va pas être super utile du fait que la dimension de E n'est pas vraiment connue.
En particulier, ça me ferait bien mal au fesse que les deux s.e.v. propres associés aux deux valeurs propres soient forcément de dimension 1, à moins que E ne soit de dimension 2 (et même dans ce cas, ce n'est pas forcément vrai). De nouveau, tu mélange allègrement la notion de polynôme minimal et celle de polynôme caractéristique (ici, tu connait "presque" le polynôme minimal, mais quasiment pas le polynôme caractéristique)

Concernant le 4), si tu as montré que les deux endomorphismes sont des projecteurs, c'est que... tu t'es gouré...

Sinon, pour essayer d'éviter d'écrire des c... (par exemple sur les s.e.v. propres), tu vois pas un/des exemples archi simple de "projecteurs" ?

[Ncdk]

Bonsoir,

3) C'est vrai que j'ai confondu le polynôme caractéristique et celui que j'ai à la question 1 alors qu'il n'y a pas de raisons que ce soit le polynôme caractéristique.
Mais déjà, si tu m'aiguilles sur le fait que c'est presque un polynôme minimal, c'est peut-être que ça en est un, mais comment je peux vérifier d'ailleurs ça ?
Après, il me semble, dans le fin fond de ma tête, que le polynôme minimal ou annulateur, je ne sais plus vraiment, mais s'il est scindé a racines simples, il me semble qu'on peut diagonalisé la matrice.

Donc, il faudrait que pour cette question, je regarde si mon polynôme annulateur est un polynôme minimal, si c'est ok, on voit directement qu'il est scindé à racines simples et du coup est diagonalisable.

4) Ou bien, l'un est un projecteur, mais pas l'autre ? :p
Du style le premier par exemple, car sur le second, il me semble que j'ai fait une erreur de calcul, je crois dans un signe que j'ai transformé, faut que je vérifie.

[zygomatique]

salut

tu as trouvé que 0 et 1 sont valeur propre ....

quel est le sous-espaces propres associé à 1 ? à 0 ?

comment la question 2/ te permet de conclure simplement la question 3/ ? (à quelle condition sur la dimension des sous-espaces propres un endomorphisme est diagonalisable ?)