Géométrie élémentaire

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antoine3617
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géométrie élémentaire

par antoine3617 » 07 Déc 2008, 14:28

Bonjour,

Voici le problème qui semble très simple a priori mais qui me fait caler :
J'ai deux droites (d1) et (d2) non parallèles, I appartenant au secteur angulaire saillant.
Comment placer deux points A et B sur les 2 droites pour que I soit le milieu du segment [AB] ?



Doraki
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par Doraki » 07 Déc 2008, 14:40

si tu places un point M au hasard sur d1, pour que I soit un milieu, il y'a qu'un seul choix pour l'autre point, c'est le symétrique de M par rapport à I.
Donc il faut trouver un point de d1 tel que son symétrique par rapport à I soit sur d2.

C'est quoi l'ensemble des symétriques des points de d1 par rapport à I ?

antoine3617
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par antoine3617 » 07 Déc 2008, 14:57

merci
c'est une droite parallèle à d1 passant par le symétrique d'un point M de d1 par rapport à d2.
L'intersection de cette droite symétrique avec la droite d2 est le point B.
Il suffit ensuite de tracer (IB) pour avoir A sur d1.

antoine3617
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par antoine3617 » 07 Déc 2008, 16:33

Dans la suite du problème, on réitère le processus avec une condition supplémentaire.
On prend une droite d3 non parallèle à d2 et un point J appartenant au secteur angulaire saillant. On veut donc que J soit le milieu de [BC], le point C appartenant à d3 et le point B appartenant à d2. Le soucis est que le point B est fixé sur d2, ce que l'on a trouvé auparavant.

antoine3617
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par antoine3617 » 07 Déc 2008, 20:10

Je bloque toujours là-dessus, si qq a une idée....
Je résume la situation :
J'ai trois droites d1 d2 d3 non parallèles.
J'ai deux points I et J qui appartiennent au secteurs angulaires saillants formés respectivement par les droites d1, d2 et d2,d3.
Je veux placer trois points A B et C sur ces 3 droites tels que I soit le milieu de [AB] et J soit le milieu de [BC]
J'arrive donc à placer A et B avec la 1ère explication de DORAKI mais ensuite problème car B est fixé donc c'est bc moins facile. Je dois ensuite réitérer cette méthode plusieurs fois.

yos
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par yos » 07 Déc 2008, 20:22

Si j'ai bien compris, ça doit pas marcher, car le couple (A,B) est unique. Et aucune raison que B soit où il faut pour que C existe.
Pas d'hypothèse supplémentaire?

antoine3617
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par antoine3617 » 07 Déc 2008, 20:31

en effet.
Ce que je vais faire, c'est redonner l'énoncé de base :
Soient I,J,K,L et M 5 points distincts de P.
Construire 5 points A,B,C,D,E tels que I soit le milieu de [AB], J=mil[BC],K=mil[CD],L=mil[DE] et M=mil[EA].
Préciser le nombre de solutions.

J'en ai donc tiré que :
IA=IB,JB=JC,KC=KD... ceci me permettant de dire que B appartient la médiatrice du segment [IJ] .... d'où mes droites

Doraki
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par Doraki » 07 Déc 2008, 20:37

antoine3617 a écrit:J'en ai donc tiré que :
IA=IB,JB=JC,KC=KD... ceci me permettant de dire que B appartient la médiatrice du segment [IJ] .... d'où mes droites


Pourquoi B serait-il sur la médiatrice de [IJ] ?
Dans tes égalités je vois pas de IB = JB...

antoine3617
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par antoine3617 » 07 Déc 2008, 20:40

en effet je me suis un peu avancé

antoine3617
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par antoine3617 » 07 Déc 2008, 21:19

Je n'ai pas d'idée pour la construction à la règle et au compas qui me permettrait de vérifier les hypothèses.

yos
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par yos » 07 Déc 2008, 22:19

C'est pas du tout le même problème! Si tu note les symétries centrales de centre , tu peux partir d'un point A quelconque et appliquer successivement , puis ... puis . Tout sera OK si la boucle se referme i.e. . Cela revient à dire que A est quoi pour la transformation ?

antoine3617
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par antoine3617 » 07 Déc 2008, 22:36

A est un point fixe pour cette transformation.

yos
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par yos » 07 Déc 2008, 23:33

Reste à identifier cette transformation...

antoine3617
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par antoine3617 » 08 Déc 2008, 22:14

Bonsoir, je pense comme ça à une rotation (un point fixe)

yos
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par yos » 08 Déc 2008, 23:13

Que sais-tu sur les composées de transformations? Connais-tu les applications linéaires associées?

antoine3617
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par antoine3617 » 09 Déc 2008, 00:10

application linéaire associée oui

antoine3617
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par antoine3617 » 09 Déc 2008, 00:27

l'application lin associée c'est une symétrie vectorielle ??
Sa matrice serait alors la matrice ayant -1 et 1 sur la diagonale, ce qui fait que quand on compose cinq symétries centrales, la matrice de la composée est la matrice Identité, ce qui paraît logique.
Mais qu'est-ce que ça donne ?

yos
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par yos » 09 Déc 2008, 00:58

Non, il s'agit de symétries centrales (ou rotations d'angle pi) donc les matrices associées ont -1 et -1 dans la diagonale. Leur composée aussi car 5 est impair, donc ta composée est encore une symétrie centrale :
donc donc en vertu du résultat évident .

antoine3617
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par antoine3617 » 09 Déc 2008, 01:15

merci.
J'y vois plus clair. ça commence à me rappeler plein de choses tout ça.....

 

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