Géométrie plane élementaire; Motivation

[YunYun]

Bonsoir,

J'ai quelques soucis dans le devoir qui suit, si vous pouviez m'eclairer :
Rmq, je noterai la mesure algébrique en gras, et les conjugués seront noté /z

On considère un plan euclidien P rapporté à un repère orthonormé direct
On note P* le plan privé de l'origine O.
On se propose d'etudier l'application notée I_0 de P* vers lui même qui associe à tout point M le point M' de la droite (OM) définie par la relation OM*OM' = 1

- Montrer que l'image de M peut être définie par la relation vectorielle

J'ai réussi, mais certainement pas de la manière attendue (voir question suivante) alors si vous pouviez me mettre sur la voie.

- Montrer que si z est l'affixe complexe de M dans le repère , l'affixe z' de l'image M' dans ce même repère peut se calculer grâce à : z' = 1/z

OM*OM' = 1
donc lz'l * lzl = 1
O, M et M' alignés donc il existe un réel k non nul tel que
Et z' = k*z
On a donc k*lzl*lzl = 1

et ainsi

- Montrer que l'inversion I_0 est bijective et coincide avec son application réciproque

J'ai eu l'intuition de prendre un point M'' d'affixe z'' image de z' et de poser :
Donc l'inversion coincide avec son application réciproque, en revanche, est-ce que cela suffit à prouver la bijectivité ?

- Soient M' et N' les images respectives par inversions de M et N, deux points distincts. Montrer que la distance des images est donnée par la relation M'N' = MN / (OM*ON)

là, à priori, pas de soucis.


On peut ainsi calculer :

cqfd.

Je mettrai la suite plus tard.

En vous remerciant par avance,
Bonne soirée.

[Doraki]

Quand il y a une barre au dessus d'un nombre complexe, ça veut dire le conjugué de ce nombre.

En outre, z/|z²| n'est pas égal à 1/z.

[YunYun]

Ca m'apprendra à me concentrer sur ce que je fais...
Merci déjà pour ça, c'est corrigé.

[Doraki]

Quand tu dis qu'il existe un réel k non nul tel que OM' = k*OM (en vecteurs), et donc que k*z' = z, ok.
Je sais pas trop comment on traduit les horreurs que sont les mesures algébriques pour avoir k*|z|² = 1. T'as bien justifié pourquoi tu n'as pas -k*|z|² = 1 ou |k|*|z|² = 1 comme relation ?

Ensuite on a bien k = 1/|z²| donc z' = z/|z²| etc.

Pour la bijectivité, ben c'est une conséquence facile de la relation I(I(z)) = z. L'existence d'une réciproque implique que la fonction est bijective. Si tu veux etre sûr de pas manquer de points tu peux dire explicitement "I est surjective parceque l'antécédent de z est blablabla et I est injective parceque si I(z) = I(z') alors blablabla".

Enfin ton calcul pour M'N'² ne m'a pas l'air complètement évident tel que tu l'as écrit.

[YunYun]

Bonjour !

T'as bien justifié pourquoi tu n'as pas -k*|z|² = 1 ou |k|*|z|² = 1 comme relation ?

J'ai du loupé quelque chose mais je ne vois pas pourquoi je pourrais avoir ça.

Si tu veux etre sûr de pas manquer de points tu peux dire explicitement "I est surjective parceque l'antécédent de z est blablabla et I est injective parceque si I(z) = I(z') alors blablabla".

Oui, c'était bien là mon doute, s'il n'y avait pas d'ambiguïté concernant certains points, merci.

Enfin ton calcul pour M'N'² ne m'a pas l'air complètement évident tel que tu l'as écrit.

Oui, j'ai écris de manière un peu trop rentre-dedans, je le confesse, ça apparaitra mieux à l'écrit.


Ceci dit, voici la suite :

Soit C un cercle passant par l'origine O, donc d'équation cartesienne x² + y² - ax - by = 0 dans le repère (O, i, j) on note C* le cercle C privé de l'origine O.
[...]
Une équation polaire de C dans ce repère s'écrit : p = a*cos(g) + b*sin(g)

On note D l'image de C* par l'inversion I0. Etudier la forme trigonométrique des affixes des points de D. Montrer que D a pour équation polaire p = 1/ (a*cos(g) + b*sin(g))

Un point M quelconque de C* a pour coordonnées polaires (p,g) avec (p,g) different du couple nul et tel que
p = acos(g) + bsin(g)

z = p*e^(ig) est une forme trigo de l'affixe complexe de M.

Donc par inversion I0 on obtient un point M' d'affixe
C'est la forme trigo des affixes des points de D.
Et après ? Les idées ne se bousculent pas de mon coté.


Merci,
Bonne soirée.

[Doraki]

Un point M quelconque de C* a pour coordonnées polaires (p,g) avec (p,g) different du couple nul et tel que
p = acos(g) + bsin(g)

z = p*e^(ig) est une forme trigo de l'affixe complexe de M.

Donc par inversion I0 on obtient un point M' d'affixe
C'est la forme trigo des affixes des points de D.
Et après ? Les idées ne se bousculent pas de mon coté.


Merci,
Bonne soirée.

z(g) = p(g)e^(ig) = (acos(g)+bsin(g))e^ig,
donc I(z(g)) = 1/conjugué de z(g) = (cos(g)+i*sin(g))/p(g), oui et donc sa forme polaire ?
que valent l'argument g'(g) et le module p'(g) de I(z(g)) ?

[YunYun]

Bonjour,

donc I(z(g)) = 1/conjugué de z(g) = (cos(g)+i*sin(g))/p(g), oui et donc sa forme polaire ?

N'est ce pas déjà une forme polaire ?

Dans ce cas ?

Le module p'(g) est donc 1/p(g) et l'argument g'(g) est g ?

Ce qui permet de poser I(z(g)) = p'(g)*e^(ig) = 1/p(g)*e^(ig)
Et donc on a bien p'(g) = 1/p(g) on remplace et à priori c'est bon !

Merci !

Je me permet de revenir cependant sur les derniers points d'ombre :
- Est-il possible de répondre à la toute première question sans passer par les affixes ?

- Deuxième question :

T'as bien justifié pourquoi tu n'as pas -k*|z|² = 1 ou |k|*|z|² = 1 comme relation ?

D'après la relation vectorielle de la question 1, on a donc de la forme avec un k strictement positif, on peut donc bien écrire k*|z|² = 1

Ok ?

Et enfin,

Enfin ton calcul pour M'N'² ne m'a pas l'air complètement évident tel que tu l'as écrit.

J'avais mal lu la première fois, pas completement evident c'est-à-dire qu'il manque des étapes de détail ou bien que ce n'est pas un calcul qu'on poserait naturellement ?


Quoiqu'il en soit, merci beaucoup.
Esperons que la roue karmique tourne,
Bonne soirée !