Base de Gröbner et géométrie élémentaire

[ludo77130]

Bonjour,

Je travaille sur une application de géométrie (type GeoGebra) qui utilise des bases de Gröbner pour faire des preuves. Je suis confronté à un problème mathématiques auquelle je ne trouve pas de solution. Etant en M1 informatique, les mathématiques ne sont pas ma grande spécialité…
Un des objectifs de l’application est de faire construire à l’utilisateur le milieu d’un segment en utilisant seulement la règle et le compas. Je fournis d’entrée de jeu le point A(0,0) origine d’un repère, et un point B(xB,0). L’utilisateur va commencer par constuire un cercle de centre A et de rayon [AB], puis va tracer le cercle de centre B et de rayon [AB]. Les deux cercles se coupent en C(xC,yC) et D(xD,yD). J’utilise une base de Gröbner pour prouver que le point d’intersection de [AB] et de [CD] est le point E(xE,yE), milieu de [AB].
Je traduis donc l’ensemble des hypothèses en polynômes, grâce auxquels je calcul une base de Gröbner. Je génère l’idéal de la base, puis je vérifie que le polynôme modélisant l’objectif appartient bien à l’idéal. Je vais sûrement me faire taper sur les doigts pour ces quelques lignes, mais c’est comme ça que je résume ma compréhension du problème.
Je traduis les hypothèses en polynômes :
C appartient au cercle de centre A et de rayon [AB] <=> f1 : xC² + yC² -xB² = 0
C appartient au cercle de centre B et de rayon [AB] <=>f2 : (xC – xB)² + yC² -xB² = 0
D appartient au cercle de centre A et de rayon [AB] <=> f3 : xD² + yD² -xB² = 0
D appartient au cercle de centre B et de rayon [AB] <=> f4 : (xD – xB)² + yD² - xB² = 0
E appartient à [AB] <=> vecteurs EA et EB sont colinéaires <=> f5 : yExB = 0
E appartient à [CD] <=> vecteurs EC et ED sont colinéaires <=> f6 : (xC – xE)(yD – yE) – (yC - yE)(xD - xE) = 0
C n’est pas confondu avec D <=> xC =/= xD ou yC =/= yD
<=> 1 – A(yC – yD) = 0 ou 1 – B(xC -xD) = 0
<=> f7 : (1 – A(yC – yD))( 1 – B(xC -xD)) = 0

L’objectif est que E milieu de [AB] <=> fo1 : 2xE – xB = 0 et fo2 : yE = 0

D’après mon programme, fo1 n’appartient pas à l’idéal engendré par <f1,f2,…,f7>. J’ai refait plusieurs fois les calculs littéraux qui m’ont mené à ma liste de polynômes pour au final toujours retomber sur la même chose. J’en appelle donc à ceux qui maitrisent les bases de Gröbner, afin de savoir s’il y a une erreur dans mon raisonnement et/ou dans ma modélisation.

Merci d’avance pour le temps que vous m’accorderiez.
Cordialement,

Ludovic Marquet

[Doraki]

Tu devrais rajouter que A et B doivent être distinct.

[ludo77130]

Bonsoir et merci pour votre réponse.
Etant donné que A est l'origine du repère, les coordonnées de A n'interviennent jamais dans l'écriture des polynômes.
Je peux envisager de préciser que B n'est pas l'origine, et qu'il est sur l'axe des abscisses, en écrivant
f8 : 1 - C(xB) = 0
Mais je n'ai pas eu a le préciser dans les autres exemples que j'ai implémenté (et qui fonctionnent).

[Robot]

Voyons ce qui se passe si A=B, c.-à-d. si xB=0, avec ce que tu as écris.
Alors on a et les points C et D peuvent être n'importe où sur les droites et de pente i et -i passant par l'origine. La condition "E sur la droite (AB)" devient triviale (0=0) et donc tout ce qu'on impose à E est d'être sur une droite joignant un point de à un point de : en fait, E peut être absolument n'importe où.

[ludo77130]

Bonjour,
J'ai rajouté la condition que B n'est pas l'origine, et en effet cela fonctionne ! Merci beaucoup à vous.
J'aimerais essayer de comprendre pourquoi je n'ai pas eu à insérer cette contrainte dans l'autre exemple que j'ai implémenté. J'ai repris ce pdf: http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/e ... pchap8.pdf , en recopiant soigneusement les 9 contraintes parmi lesquelles ne figure pas le fait que B n'est pas l'origine. Pourquoi les contraintes de ce nouveau problème sont-elles suffisantes ? Cela aurait-il changé quelque chose d'avoir rajouté la contrainte A=/= B ?

[Robot]

A toi de voir ce qu'expriment les conditions écrites dans le cas A=B.