Géométrie différentielle

[AlexisD]

Bonjour,

Je voulais savoir quelle différence il y avait entre une surface régulière et une variété ? Peut-on dire qu'une variété de R^3 est une surface régulière et/ou l'inverse ? Sinon, dans quels cas ?

Merci

[mathelot]

Bonjour

une variété est un espace topologique localement homéomorphe ou difféomorphe à

ainsi:
une courbe est localement homéomorphe à un segment de droite
une surface à un disque ouvert plan (une rustine !)
une variété de dimension 3 à une boule euclidienne ouverte de

un des principaux théorème est
toute variété , définie de manière "abstraite" se plonge dans un espace euclidien
pour n assez grand.

le truc bizarroïde, c'est que la "lissité" de la variété X , son analycité , ses propriétés riemanniennes ou kälhérienne ne se voient pas directement sur X , mais au travers des changements
de cartes, ie, sur la façon dont se différencient les différents atlas qui décrivent un même voisinage

[AlexisD]

Mmh je vois
mais est-ce-qu'on peut confondre une variété difféomorphe à R^2 avec une surface régulière de R^3 ?

[Ben314]

Salut,
Non : il existe des tas de variétés de dimension 2 que l'on ne peut pas plonger dans R^3 (il faut au mini aller dans R^4).
La plus connue est sans doute la bouteille de Klein.

P.S. :

...une variété difféomorphe à R^2...

Si une variété est difféomorphe à R^2 alors c'est un plan et tu peut non seulement la plonger dans R^3, mais même dans R^2 (et ta variété est sans grand intérêt)...


Edit : Autant il n'y a aucune ambiguïté sur le terme "variété différentiable", autant je suis pas sûr de bien voir ce que désigne ton terme "surface régulière de R^3"

[mathelot]

Mmh je vois
mais est-ce-qu'on peut confondre une variété difféomorphe à R^2 avec une surface régulière de R^3 ?

déja, une surface , c'est une variété et réciproquement ! Ce que tu évoques, c'est un problème
de plongement d'une surface dans

je crois me souvenir que la réponse est assez simple:

la variété est décrite localement par des bijections
Les changements de cartes sont différentiables
et leurs différentielles définissent par recollement une variété abstraite qui est l'espace tangent.

il me semble que l'espace tangent se trivialise localement en
le produit cartésien d'un voisinage d'un point de et de l'espace vectoriel des vitesses des courbes qui passent par

Localement, il y a donc une orientation dans
si cette orientation se trivialise sur l'ensemble de la variété, la variété est orientable et
se plonge dans , si ce n'est pas le cas, elle se plonge dans