Géométrie dans l'espace

[LéaM1213]

Bonjour, j'ai vraiment du mal avec un exercice.
Voilà l'énoncer:

La droite (AB) dans l’espace est donc l’ensemble des
points M de l’espace tels que ⃗AM=⃗k AB ou
⃗AM=k ⃗u si ⃗u est un vecteur directeur de la droite.
(caractérisation d’une droite par un point et un vecteur directeur)

Le plan (A;⃗u,⃗v) de l’espace est donc l’ensemble des
points M de l’espace tels que ⃗AM=k ⃗u+k ' ⃗v où ⃗u
et ⃗v sont les vecteurs directeurs du plan.
(caractérisation d’un plan par un point et un couple de vecteurs directeurs)


P est le plan qui passe par le point A(2;1;−1) et de vecteurs directeurs ⃗u(1;−1;0) et ⃗v(2;0;1)
d est la droite qui passe par le point N(−2;3 ;5) et de vecteur directeur w⃗ (−1; 2;−3)
a) Démontrer que la droite d et le plan P sont sécants.
b) Justifier que leur point d’intersection est le point K(−4 ;7 ;−1) .
Pour cette dernière question, l’idéal est de retrouver ces coordonnées et non pas de vous en servir comme point de départ.


Voilà pour l'exo. Comme vous avez pus le voir, il y a une petite partie cours. En faite c'est la première fois que je fait ça, et ma prof me la donné sans explication.
Merci pour l'aide.

[LéaM1213]

Faut-il que je trouve la représentation paramétrique du plan et de la droite?

[LéaM1213]

Je ne sais pas comment utiliser les formules qui nous sont données. Pouvez vous m'aider s'il vous plaît.

[LéaM1213]

Existerait-il une formule nous permettant de démontrer qu'une droite et un plan sont séquent ? S'il vous plaît.

[LéaM1213]

J'étais sensé le rendre hier, mais je ne comprend rien. Le dernier délai est aujourd'hui, donc techniquement j'ai jusque minuit non inclut, aidé moi s'il vous plaît.

[hdci]

Bonjour,

Existerait-il une formule nous permettant de démontrer qu'une droite et un plan sont séquent ?

Le problème c'est que les maths ce n'est pas une "succession de formules magiques". Il existe par contre des méthodes de raisonnement permettant de démontrer si une droite et un plan sont sécants ou parallèles

mais je ne comprend rien

Le truc c'est que pour comprendre il faut bien travailler (et connaître) son cours. Vous avez forcément dans votre cours quelque part dans l'un des chapitres de géométrie quelque chose qui vous parle de "position respective de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans" dans l'espace.

En synthèse :

(*) deux droites sont soit sécantes, soit parallèles, soit non coplanaires. Elles sont parallèles ssi (si et seulement si) leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Elles sont non coplanaires ssi elles ne sont pas parallèles et deux paires de deux points distincts pris sur chaque droite forme un repère de l'espace, ce qui peut se démontrer en prenant A,B sur la première, C,D sur la seconde, et montrer que Vect(A,D) n'est pas combinaison linéaire de Vec(A,B) et Vect(A,C)

(*) Deux plans sont soit sécants soit parallèles. S'ils sont sécants, l'intersection est une droite. Deux plans sont parallèles ssi chaque vecteur d'une base vectorielle de l'un est colinéaire à chaque vecteur d'une base vectorielle de l'autre

(*) Une droite est soit parallèle à un plan, soit sécante avec le plan. Elle est parallèle au plan ssi un vecteur directeur de la droite est colinéaire à un vecteur du plan, et elle est sécante avec le plan ssi une base vectorielle du plan et un vecteur directeur de la droite forme une base de l'espace.

Donc ici, pour montrer que d et P sont sécants, il suffit de montrer que w n'est colinéaire à aucun des vecteurs du plan. Pour cela vous pouvez raisonner par l'absurde : vous supposez que w=au+bv et vous arrivez à une contradiction montrant que a et b n'existent pas.

Pour trouver le point K, vous donnez des coordonnées "inconnues" (x,y,z) au point K et l'objectif est de trouver x,y,z, sachant que Vect(A,K) est une combinaison linéaire de u,v et Vect(N,M) est colinéaire à w.

Tous les termes que j'ai employés sont forcément dans votre cours : par exemple, "Vect(N,M) est colinéaire à w" a une signification très précise qu'il faut savoir "traduire" mathématiquement.

[LéaM1213]

Merci beaucoup, je vais faire de mon mieux.

[hdci]

J'ai modifié une petite coquille dans le cas de la droite sécante au plan (j'avais écrit "ou encore ssi" alors qu'il fallait lire "ou bien elle est sécante ssi"

[LéaM1213]

Pour démontrer que c'est séquent on peut aussi faire l'équation du plan, puis un vecteur directeur du plan,puis je démontrer que le vecteur normal du plan n'est pas perpendiculaire à la droite.

[LéaM1213]

D'abord w (-1;2;3) n'est pas colinéaire à v (2;0;1) ni à u 1;-1;0) :
u et w ne sont pas colinéaire 1/(-1) différent de -1/(2) différent de 0/(-3)
v et w ne sont pas colinéaire 2/(-1) """""""""""""0/(2)"""""""""""""""1/(-3)

[hdci]

Pour démontrer que c'est séquent on peut aussi faire l'équation du plan, puis un vecteur directeur du plan,puis je démontrer que le vecteur normal du plan n'est pas perpendiculaire à la droite.

Oui en passant par l'équation du plan (tout dépend si vous avez déjà vu les équations ou non, mais apparemment c'est le cas).
Mais cela revient à identifier l'équation du plan à partir de ses vecteurs directeurs.

D'abord w (-1;2;3) n'est pas colinéaire à v (2;0;1) ni à u 1;-1;0) :
u et w ne sont pas colinéaire 1/(-1) différent de -1/(2) différent de 0/(-3)
v et w ne sont pas colinéaire 2/(-1) """""""""""""0/(2)"""""""""""""""1/(-3)

Attention ce n'est pas suffisant : les vecteurs (1;0;0), (0;1;0) et (1;1;0) ne sont pas colinéaires deux à deux mais par contre ils sont coplanaires. Il faut vraiment montrer que w n'est colinéaire à aucun vecteur du plan. Il vaut mieux écrire w=au+bv avec a et b deux inconnues, et dans la résolution aboutir à une contradiction (du genre "1=0") qui montrera que a et b n'existent pas. C'est en fait relativement rapide puisque les vecteurs u et v ont chacun une coordonnée nulle ce qui fixe immédiatement les valeurs possibles de a et de b

[LéaM1213]

point A du plan P :
A (2;1;-1) u(1;-1;0)
x +(-1)y-z+d=0
2+(-1)*(-1)-0+d=0
d=-3
l'équation cartésienne du plan P est donc :
x+(-1)y-z-3

[LéaM1213]

j'ai fait une erreur de calcul
ax+by+cz+d=0
1*2+(-1)*1+0*(-1)+d=0
2+(-1)=1

[hdci]

l'équation cartésienne du plan P est donc :
x+(-1)y-z-3

Dans "équation" il y a "équa", racine de "égalité". Donc une équation c'est avant tout une égalité : ici il manque l'égalité.

La méthode que vous utilisez pour l'équation du plan n'est pas adaptée et ce que vous trouvez (en ajoutant "=0") n'est pas l'équation du plan P, et ce n'est pas une erreur de signe.

Que cherchez-vous à faire ici exactement ?

[LéaM1213]

En fait je n'ai rien compris, déjà il faut que je trouve l'équation du plan avec cette formule :
ax+by+cz+d=0
mais je ne comprends pas avec quel vecteur je dois utilisé car dans l'énoncé il y a le vecteur u et v

[hdci]

Bonjour,

mais je ne comprends pas avec quel vecteur je dois utilisé car dans l'énoncé il y a le vecteur u et v

Il y a deux méthodes : la première avec un vecteur normal qui justement a pour coordonnées (a,b,c) et on détermine le d en écrivant l'équation avec, pour (x,y,z), les coordonnées d'un point connu du plan.

Mais là vous n'avez pas de vecteur normal.

La seconde méthode, c'est d'écrire que M(x,y,z) appartient au plan ssi il existe a et b tels que , cela fait trois égalités et vous vous débrouillez, par substitution, pour ne conserver qu'une seule ligne où a et b ont été remplacés par des expressions avec x,y et z. Mais cette méthode est calculatoire (ici pas trop car les vecteurs u et v ont des coordonnées nulles, cela simplifie un peu).

déjà il faut que je trouve l'équation du plan

L'énoncé ne le demande pas et ce n'est pas nécessaire. Vous n'avez pas exploité les informations que je vous ai données, c'est bien dommage.