Géométrie dans l'espace

[OY9151]

Bonjour ,
Quelle solution peut on donner au problème suivant
" Soit un plan P d'équation 462x+364y+77z=3 . Trouver trois points non alignés de ce plan ayant chacun pour coordonnées des entiers relatifs .
Merci d'avance.

[chan79]

Bonjour ,
Quelle solution peut on donner au problème suivant
" Soit un plan P d'équation 462x+364y+77z=3 . Trouver trois points non alignés de ce plan ayant chacun pour coordonnées des entiers relatifs .
Merci d'avance.

salut
7(66x+52y+11z)=3

[OY9151]

Bonjour M.CHAN
"

salut
7(66x+52y+11z)=3

"

je m'excuse pour l'erreur de frappe : à la place de 77 il faut lire 67 et donc l'équation est

462x+364y+67z=3
Quoi qu'il en soit merci pour votre réponse .

[Ben314]

Salut,
Dans ce cas, c'est super facile vu que 67 est premier, donc premier par exemple avec 364 ce qui prouve qu'il existe a,b entiers tels que 67a+364b=1 (que l'on peut trouver à l'aide de l'algo. d'Euclide)
En multipliant a et b par n, ça te donne une solution entière à 67y+364z=n pour n'importe quel n.

Conclusion : y'a qu'à prendre x au pif puis à chercher y et z tels que 67y+364z=3-462x en utilisant la méthode çi dessus...

[OY9151]

M. Ben314 , Bonjour

Merci pour la réponse que vous proposez. L'artifice est très claire et la suite des calculs l'est aussi.
Néanmoins je pose (si vous le permettez!) la question suivante : sans cet artifice qui transforme une équation à trois variables à celle de deux variables , comment trouver une solution particulière comme cela se fait avec une équation diophantienne linéaire à deux variables?

Encore une fois merci pour la réponse à la question initiale.

Salutations

[mathelot]

...........................

[Ben314]

Néanmoins je pose (si vous le permettez!) la question suivante : sans cet artifice qui transforme une équation à trois variables à celle de deux variables...

Cela n'a rien d'un "artifice" : On sait pour deux variables entières a et b que aZ+bZ=dZ où d=pgcd(a,b) et on en déduit tout ce qu'il y a de plus bêtement que aZ+bZ+cZ=dZ+cZ=eZ où e=pgcd(d,c)=pgcd(a,b,c).
Perso, ça me semble pas plus "malin" que le fait de calculer 3+5+7 en commençant par faire 3+5.

Concernant le cas "général" ax+by+cz=e, on procède exactement de la même façon : on commence par calculer d=pgcd(a,b,c) en calculant avec l'algo. d'euclide d'=pgcd(a,b) puis d=pgcd(d',c).
Puis on vérifie que d divise e : sinon il n'y a pas de solutions.
Ensuite, on cherche u,v tels que ua+vb=d' ainsi que w,t tels que td'+wc=d.
Enfin, comme d divise e, on a e=kd et au final, on a donc
(ktu)a+(ktv)b+(kw)c = k[t(ua+vb)+wc] = k[td'+wc] = kd = e

On procèderais de même avec 5, 6 ou plus variables.