Géométrie dans l'espace

[Raphoul]

bonsoir,
mon niveau en géométrie n'étant pas très bon, je n'arrive pas à répondre ou du moins à trouver le démarrage des questions

on considère le plan Q : x + y + z = 0. Donner un système d'équation cartésiennes puis un paramétrage de la droite après avoir vérifié que ces deux plans ne sont pas parallèle

j'ai déjà déterminer le plan P dans la question d'avant donc le plan P : 2x - 2z + 2 = 0
et aussi vérifier que P et Q non parallèles

je n'arrive pas à continuer maintenant

[chan79]

bonsoir,
mon niveau en géométrie n'étant pas très bon, je n'arrive pas à répondre ou du moins à trouver le démarrage des questions

on considère le plan Q : x + y + z = 0. Donner un système d'équation cartésiennes puis un paramétrage de la droite après avoir vérifié que ces deux plans ne sont pas parallèle

j'ai déjà déterminer le plan P dans la question d'avant donc le plan P : 2x - 2z + 2 = 0
et aussi vérifier que P et Q non parallèles

je n'arrive pas à continuer maintenant

deux plans sont parallèles ssi leurs vecteurs normaux sont colinéaires

[Raphoul]

deux plans sont parallèles ssi leurs vecteurs normaux sont colinéaires

j'ai déjà vérifier qu'ils étaient pas parallele maintenant je cherche un système d'équation cartésiens de la droite D

[siger]

bonsoir

une droite ,passant par un point A et de vecteur directeur V (u,v,w) est definie dans l'espace par MA = k*V
et ses coordonnees paramétriques sont
x = xA + k*u
y = yA + ..
z = ....

la droite d'intersection de deux plans se trouvant dans les deux plans a la fois est perpendiculaire aux normales des deux plans N1 et N 2, donc normale au plan N1N2
par suite un vecteur directeur de cette droite est proportionnel au produit vectoriel N1^N2
.....

[Raphoul]

bonsoir

une droite ,passant par un point A et de vecteur directeur V (u,v,w) est definie dans l'espace par MA = k*V
et ses coordonnees paramétriques sont
x = xA + k*u
y = yA + ..
z = ....

la droite d'intersection de deux plans se trouvant dans les deux plans a la fois est perpendiculaire aux normales des deux plans N1 et N 2, donc normale au plan N1N2
par suite un vecteur directeur de cette droite est proportionnel au produit vectoriel N1^N2
.....

je ne vois pas comment partir en faite à partir de mes 2 équations de plans

[siger]

rappel
le plan ax + by +cz + d= 0
a comme vecteur normal N(a,b,c)

si tu n'utilises pas le produit vectoriel tu peux ecrire que V est normal a N1 ET a N2
ce qui donnerait des produits scalaire nuls.
u* a + b* v + c* w =0
u* a1+ v*b1 ....
.......

[Ben314]

Salut,
Là, je sens qu'il y a une parti du cours qui t'a... un peu échappé... car, vu que des équations de P et Q sont respectivement
P : 2x - 2z + 2 = 0
Q : x + y + z = 0
Alors, "donner un système d'équation cartésiennes de la droite ", c'est vraiment "la question qui tue" vu qu'une réponse (il y en a plusieurs...) c'est par exemple ça :


Après, par contre "trouver une équation paramétrique", c'est un peu plus intéressant comme question mais c'est pas le bout du monde non plus : comme tu as 2 équations et 3 inconnues, si tu cherche à "résoudre" le système, tu devrait arriver à écrire 2 des inconnues en fonction de la troisième et... tu as fini...

P.S. A la limite, tu diviserait l'équation de P par 2, ça serait plus joli...

[Raphoul]

Salut,
Là, je sens qu'il y a une parti du cours qui t'a... un peu échappé... car, vu que des équations de P et Q sont respectivement
P : 2x - 2z + 2 = 0
Q : x + y + z = 0
Alors, "donner un système d'équation cartésiennes de la droite ", c'est vraiment "la question qui tue" vu qu'une réponse (il y en a plusieurs...) c'est par exemple ça :


Après, par contre "trouver une équation paramétrique", c'est un peu plus intéressant comme question mais c'est pas le bout du monde non plus : comme tu as 2 équations et 3 inconnues, si tu cherche à "résoudre" le système, tu devrait arriver à écrire 2 des inconnues en fonction de la troisième et... tu as fini...

P.S. A la limite, tu diviserait l'équation de P par 2, ça serait plus joli...

Ah oui c'est simple pour le système d'équation de D
j'ai vais essayer de trouver le paramétrage alors
merci pour les infos

[mrif]

bonsoir,
mon niveau en géométrie n'étant pas très bon, je n'arrive pas à répondre ou du moins à trouver le démarrage des questions

on considère le plan Q : x + y + z = 0. Donner un système d'équation cartésiennes puis un paramétrage de la droite après avoir vérifié que ces deux plans ne sont pas parallèle

j'ai déjà déterminer le plan P dans la question d'avant donc le plan P : 2x - 2z + 2 = 0
et aussi vérifier que P et Q non parallèles

je n'arrive pas à continuer maintenant

Une solution alternative à celle proposée par siger

Tu poses z = t et tu résous le système:
z = t
x + y + z = 0
2x - 2z + 2 = 0 où t est un paramètre. Les solutions seront les équations paramètriques de la droite, intersection des 2 plans.

Edit:
La solution que j'ai proposée est identique à celle proposée par Ben314.

[siger]

re

reponse a Ben314

j'ai effectivement éliminé par principe le systeme d'equation en supposant (a tord?) qu'un prof n'etait pas assez vicieux pour attendre cette solution ( quoique ....;))

[Raphoul]

je pars sur z=t je m'en sors

[Ben314]

j'ai effectivement éliminé par principe le systeme d'equation en supposant (a tord?) qu'un prof n'etait pas assez vicieux pour attendre cette solution ( quoique ....)

Ben tient, on va se géner... :zen:

[Ben314]

je pars sur z=t je m'en sors

ça roule...
Exo suivant...
aprés, le truc à comprendre, mais tu verra ça a force de faire des exos, c'est qu'il y a des tas d'équations paramétriques qui "semblent" différentes pour une même droite et... encore plus de "tas" de couples d'équation cartésiennes (il y a des tas de couples de plans P1 et P2 dont l'intersection est la droite D)

[Raphoul]

ça roule...
Exo suivant...
aprés, le truc à comprendre, mais tu verra ça a force de faire des exos, c'est qu'il y a des tas d'équations paramétriques qui "semblent" différentes pour une même droite et... encore plus de "tas" de couples d'équation cartésiennes (il y a des tas de couples de plans P1 et P2 dont l'intersection est la droite D)

mon principale problème sur la géométrie est comment commencer la question, une fois que j'ai le début après je sais continuer
la par exemple je dois étudier
où S :

je vais peiner pour trouver comment partir mais après ça va être bon

[Ben314]

Je pense que tu as vu qu'un truc comme S, c'est une sphère (de centre le point et de rayon )
Après, l'intersection d'une sphère et d'un plan, c'est soit vide, soit un point (le plan est tangent) soit un cercle.
Pour voir si c'est vide ou pas, tu peut calculer (si tu connait la formule) la distance de au plan P.
Ca te dira même le rayon du cercle si l'intersection n'est pas vide.

Mais si jamais l'intersection est un cercle, tu arrivera pas à mettre tes équations sur une forme bien plus simple, vu qu'un cercle contenu dans R^3, à part dire que c'est l'intersection d'une sphère et d'un plan, on peut pas dire grand chose de plus.
A la limite, on peut chercher le centre du cercle (qui est un point du plan) et son rayon...

[Raphoul]

Je pense que tu as vu qu'un truc comme S, c'est une sphère (de centre le point et de rayon )
Après, l'intersection d'une sphère et d'un plan, c'est soit vide, soit un point (le plan est tangent) soit un cercle.
Pour voir si c'est vide ou pas, tu peut calculer (si tu connait la formule) la distance de au plan P.
Ca te dira même le rayon du cercle si l'intersection n'est pas vide.

Mais si jamais l'intersection est un cercle, tu arrivera pas à mettre tes équations sur une forme bien plus simple, vu qu'un cercle contenu dans R^3, à part dire que c'est l'intersection d'une sphère et d'un plan, on peut pas dire grand chose de plus.
A la limite, on peut chercher le centre du cercle (qui est un point du plan) et son rayon...

oui je connais la formule de la distance je vais l'utiliser

[Raphoul]

j'ai mal lu l'énoncé c'est

[Ben314]

j'ai mal lu l'énoncé c'est

Là, normalement, c'est plus simple : 0 ou 2 solutions (à la limite une seule si la droite est tangente à la sphère).

[Raphoul]

Là, normalement, c'est plus simple : 0 ou 2 solutions (à la limite une seule si la droite est tangente à la sphère).

il y a une formule pour calculer la distance ? parce que en m'aidant du cours je ne vois pas trop

[Ben314]

il y a une formule pour calculer la distance ? parce que en m'aidant du cours je ne vois pas trop

Pour la distance d'un point à un plan d'équation avec , il y a une formule "classique" :


Pour la distance d'un point à une droite, je ne la connait pas par cœur, mais il vaut mieux avoir l'équation paramétrique (c'est à dire un point et un vecteur directeur) plutôt que les équations cartésiennes (c'est à dire deux plans dont l'intersection est la droite).
Dans le premier cas, en écrivant où M est un point variable de D (avec l'équation paramétrique), tu as un trinôme du second degrés et on sait trés bien où est le min d'un trinôme.
Dans le second cas, c'est plus c... : tu arrive à calculer façilement la distance de Mo aux deux plans, mais pour en déduire la distanse de Mo à la droite d'intersection des deux plans, il faut en plus savoir quel angle il y a entre les deux plans (en calculant par exemple le produit scalaire des vecteurs normaux aux deux plans).

Vu les infos que tu as, te pose pas de questions : dans l'équation de la sphère, tu remplace le x, le y et le z par ce que tu as trouvé comme équation paramétrique de la droite et ça te fait une équation du second degré à résoudre.
De façon plus générale, quand tu as l'intersection de deux trucs à trouver, l'idéal, c'est d'avoir une (ou des) équation(s) cartésienne d'un des deux trucs et une (ou des) équations paramétriques de l’autre : dans ce cas tu n'a qu'à recopier les équations paramétrique dans les équations cartésiennes et à résoudre le résultat.