Géométrie dans l'espace

[Raphoul]

Pour la distance d'un point à un plan d'équation avec , il y a une formule "classique" :


Pour la distance d'un point à une droite, je ne la connait pas par cœur, mais il vaut mieux avoir l'équation paramétrique (c'est à dire un point et un vecteur directeur) plutôt que les équations cartésiennes (c'est à dire deux plans dont l'intersection est la droite).
Dans le premier cas, en écrivant où M est un point variable de D (avec l'équation paramétrique), tu as un trinôme du second degrés et on sait trés bien où est le min d'un trinôme.
Dans le second cas, c'est plus c... : tu arrive à calculer façilement la distance de Mo aux deux plans, mais pour en déduire la distanse de Mo à la droite d'intersection des deux plans, il faut en plus savoir quel angle il y a entre les deux plans (en calculant par exemple le produit scalaire des vecteurs normaux aux deux plans).

Vu les infos que tu as, te pose pas de questions : dans l'équation de la sphère, tu remplace le x, le y et le z par ce que tu as trouvé comme équation paramétrique de la droite et ça te fait une équation du second degré à résoudre.

je reprendrai tes infos demain, merci beaucoup

[Raphoul]

j'ai trouver en résolvant une équation du second degrés
Il me reste à déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point B(1,2,4) sur la droite D

[siger]

j'ai trouver en résolvant une équation du second degrés
Il me reste à déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point B(1,2,4) sur la droite D

bonsoir

a quoi peut te servir les coordonnees du projette du centre de la sphere sur la droite?

que cherches tu donc?
les coordonnees du ou des points d'intersection de la sphere et de la droite ou bien les conditions d'existence d'une intersection?

1-si tu cherches l'intersection de la sphere et de la droite :tu ecris que les points d'intersection (s'ils existent) sont a la fois sur la sphere et sur la droite, donc que l'equation de la sphere est vérifiée pour les valeurs parametrées d'un point sur la droite, ce qui conduit a une ou deux valeurs de t et aux coordonnes des points.
2- l'existence d'une intersection se reduit a une etude des racines de cette equation du second degre
ou bien
tu calcules la distance du centre de la sphere a la droite (en utilisant le produit vectoriel) que tu compares au rayon de la sphere

[Raphoul]

bonsoir

que cherches-tu donc?

les coordonnees du ou des points d'intersection de la sphere et de la droite ou bien les conditions d'existence d'une intersection?

1-si tu cherches l'intersection de la sphere et de la droite :tu ecris que les points d'intersection (s'ils existent) sont a la fois sur la sphere et sur la droite, donc que l'equation de la sphere est vérifiée pour les valeurs parametrées d'un point sur la droite, ce qui conduit a une ou deux valeurs de t et aux coordonnes des points.
2- l'existence d'une intersection se reduit a une etude des racines de cette equation du second degre
ou bien
tu calcules la distance du centre de la sphere a la droite (en utilisant le produit vectoriel) que tu compares au rayon de la sphere

je cherche les coordonnées du projeté orthogonal du point B(1,2,4) à la droite D

[siger]

je cherche les coordonnées du projeté orthogonal du point B(1,2,4) à la droite D

OK , OK ....

soit H ce projette de B sur D
1- H est sur D , d'ou
xH = x0 + tH*u
yH = y0 + tH* v
zH =...

2- B(a,b,c)
BH est normal au vecteur directeur V, par suite le produit scalaire BH.V est nul
d'ou ( a-xH)*u+ (b-yH)*v+(c-H)*w= 0
en reportant les coordonnees de H , on obtient tH
.....

[Raphoul]

OK , OK ....

soit H ce projette de B sur D
1- H est sur D , d'ou
xH = x0 + tH*u
yH = y0 + tH* v
zH =...

2- B(a,b,c)
BH est normal au vecteur directeur V, par suite le produit scalaire BH.V est nul
d'ou ( a-xH)*u+ (b-yH)*v+(c-H)*w= 0
en reportant les coordonnees de H , on obtient tH
.....

un peu de mal à comprendre..., il n'y a pas une autre façon de traité cette question ?

[Ben314]

Il y a (comme presque tout le temps)... plein de méthodes...
1) Celle proposé par siger. Ca risque de te sembler compliqué, mais je pense que c'est parce qu'il a mis de lettres partout. En fait, à part le t, tu connais tout le reste : son 1), c'est les équations paramétrique de la droite D et tu les connait. Donc l'équation du 2) c'est une équation du 1er degré en t.
Tu peut aussi remarquer qu'en fait l'équation du 2), si tu la regarde "telle quelle" (i.e. sans remplacer xH, yH et zH par ce que tu as trouvé au 1)) c'est l'équation du plan passant par B et orthogonal à la droite D donc cette méthode revient à chercher l'intersection d'une droite et d'un plan.
2) Une méthode à peine différente consisterais, à partir des équations paramétrique de la droite (équations 1)) à calculer la distance (ou plutôt son carré, c'est plus simple) du point variable H au point B et à minimiser cette distance (qui est un polynôme de degré 2 en t).
3) Sinon, vu le calcul que tu as déjà fait, il y a une "astuce" : le projeté orthogonal du centre de la sphère sur la droite, c'est le milieu des deux points d'intersection que tu as déja trouvé (fait un dessin dans un plan avec un cercle qui coupe deux fois une droite)