Géométrie dans l'espace

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour,

Alors j'ai une question, sur les aires de triangles dans l'espace.
Sur wikipedia il est marqué que :

L'aire du triangle ABC où , , s'exprime comme :

Comment en arrive-t-on à là ?

En fait, je veux calculer l'aire du triangle BCD avec ABCD un tétraèdre où les faces ABC, ABD, ACD sont des triangles rectangles en A.
Je donne puis je définis un repère direct et orthonormé de l'espace.

J'ai A(0,0,0), B(b,0,0), D(0,d,0) et C(0,0,c)
Et après je vois pas plus loin !

Merci d'avance pour votre aide

PS : voici l'article en question http://fr.wikipedia.org/wiki/Aire_d'un_triangle

PPS : Mon but est de démontrer que dans un tel tétraèdre, on a (égalité de Descartes)
La précédente égalité me parait donc être intéressante mais je ne vois pas comment y arriver (car ce serait le saint Graal !)

[Kikoo <3 Bieber]

Je me suis rendu compte qu'on prenait le déterminant des sommets du triangle !
Je vous dit ce que je trouve.

[Maxmau]

Bonjour,

Alors j'ai une question, sur les aires de triangles dans l'espace.
Sur wikipedia il est marqué que :


Comment en arrive-t-on à là ?

En fait, je veux calculer l'aire du triangle BCD avec ABCD un tétraèdre où les faces ABC, ABD, ACD sont des triangles rectangles en A.
Je donne puis je définis un repère direct et orthonormé de l'espace.

J'ai A(0,0,0), B(b,0,0), D(0,d,0) et C(0,0,c)
Et après je vois pas plus loin !

Merci d'avance pour votre aide

PS : voici l'article en question http://fr.wikipedia.org/wiki/Aire_d'un_triangle

PPS : Mon but est de démontrer que dans un tel triangle, on a (égalité de Descartes)
La précédente égalité me parait donc être intéressante mais je ne vois pas comment y arriver (car ce serait le saint Graal !)

bj

a quoi est égale la norme du produit vectoriel des vecteurs AB et AC ?

[Kikoo <3 Bieber]

bj

a quoi est égale la norme du produit vectoriel des vecteurs AB et AC ?

Hello Maxmau et merci pour ta réponse !
Elle est égale à l'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs AB et AC. Donc la moitié de ce truc me donne l'aire du triangle ABC.
On écrira que c'est également la norme du déterminant des vecteurs AB et AC.

[Kikoo <3 Bieber]

Je crois avoir trouvé



CQFD

Excusez-moi pour les liens mais j'ai essayé tant bien que mal d'écrire ceci via latex, pour des résultats plus que décevants... :girl2:

PS : Ah et oui, on arrive à l'expression de par l'expression de la norme du produit vectoriel des vecteurs CD et CB, que l'on obtient sous la forme des déterminants présents dans le radicande.
Voili voilou, en espérant que ce topic serve un jour.

[chan79]

Bonjour,

Alors j'ai une question, sur les aires de triangles dans l'espace.
Sur wikipedia il est marqué que :


Comment en arrive-t-on à là ?

En fait, je veux calculer l'aire du triangle BCD avec ABCD un tétraèdre où les faces ABC, ABD, ACD sont des triangles rectangles en A.
Je donne puis je définis un repère direct et orthonormé de l'espace.

J'ai A(0,0,0), B(b,0,0), D(0,d,0) et C(0,0,c)
Et après je vois pas plus loin !

Merci d'avance pour votre aide

PS : voici l'article en question http://fr.wikipedia.org/wiki/Aire_d'un_triangle

PPS : Mon but est de démontrer que dans un tel tétraèdre, on a (égalité de Descartes)
La précédente égalité me parait donc être intéressante mais je ne vois pas comment y arriver (car ce serait le saint Graal !)

salut
juste une remarque
tu peux facilement calculer le volume du tétraèdre (bcd/6)
l'équation de BCD est x/b+y/d+z/c=1
il y a une formule pour trouver la distance de O au plan BCD; on trouve
tu peux donc avoir rapidement ta formule

[Kikoo <3 Bieber]

salut
juste une remarque
tu peux facilement calculer le volume du tétraèdre (bcd/6)
l'équation de BCD est x/b+y/d+z/c=1
il y a une formule pour trouver la distance de O au plan BCD; on trouve
tu peux donc avoir rapidement ta formule

Salut Chan,

D'accord, merci pour ces éléments

[Kikoo <3 Bieber]

Re

J'ai un problème plus calculatoire, auquel je n'ai pas réussi à trouver un point de déblocage ce matin.

On a où E est l'espace Euclidien de dimension 3.
Il me faut trouver en fonction de .

Bon, pour commencer j'ai écrit que ce déterminant est inchangé par permutation circulaire des vecteurs.
Puis j'ai écrit que
Et après j'ai songé à additionner les différents produits mixtes obtenus via permutation circulaire, mais ça me semble un peu inutile...

Des idées ?

[Maxmau]

Re

J'ai un problème plus calculatoire, auquel je n'ai pas réussi à trouver un point de déblocage ce matin.

On a où E est l'espace Euclidien de dimension 3.
Il me faut trouver en fonction de .

Bon, pour commencer j'ai écrit que ce déterminant est inchangé par permutation circulaire des vecteurs.
Puis j'ai écrit que
Et après j'ai songé à additionner les différents produits mixtes obtenus via permutation circulaire, mais ça me semble un peu inutile...

Des idées ?

Il existe une base orthonormée directe (I,J,K) telle que la matrice de passage de (I,J,K) vers (U,V,W) soit triangulaire (c'est classique). U=aI , V=bI+cJ , W =dI+eJ+fK .
Exprime alors les déterminants dans la base (I,J,K) (il y a des simplifications utilisant les propriétés du déterminant et du produit vectoriel)

[Doraki]

Si tu appelles f(u,v,w) = det(u^v,v^w,w^u),
tu peux vérifier que pour tous vecteurs u,v,w, et pour tout scalaire ;),
f(u+v,v,w) = f(u,v,w) ; f(;)u,v,w) = ;)²f(u,v,w) ; f(u,v,w) = f(v,w,u).

Ce qui suffit pour montrer que f(A(u,v,w)) = (det A)²f(u,v,w) pour toute transformation linéaire A : R^3 -> R^3 (il suffit de décomposer A en opérations élémentaires).
Comme (u,v,w) sont obtenus à partir de (e1,e2,e3) avec l'application linéaire dont la matrice dans la base canonique est (u,v,w) (la matrice dont les colonnes sont u,v,w)
on obtient donc f(u,v,w) = det(u,v,w)²f(e1,e2,e3) = +-det(u,v,w)² (le signe dépend de l'ordre dans lequel tu mets les trucs dans f), j'ai pas vérifié mais c'est probablement +det(u,v,w)².

[Kikoo <3 Bieber]

Merci beaucoup pour vos réponses, Maxmau et Doraki :)

Alors Maxmau, je n'ai presque rien fait sur les matrices, mais je retoucherai à ça lorsque je les aurai vues.
Doraki, je regarde ta méthode illico-presto, et je vois ce que ça donne !

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour,

J'ai l'angle polaire entre les points et , .
On note et .

J'ai de même A(0,a) et B(b,0) deux points du plan, tels que 0<a<b.
Je trouve que et sont solutions du système suivant :

On note . Après avoir justifié que , il me faut montrer que ce système admet une unique solution ssi et qu'il n'en a pas sinon.

Je pense au système de Cramer mais je ne vois pas quand le déterminant peut être nul.

[Doraki]

J'ai rien à compris à ce que tu veux faire.
C'est quoi un angle entre deux points ?
Si M1 dépend de theta il faut écrire M1(theta).
Quel est le rapport entre ton système, M1 et M2, et A et B ?

[Kikoo <3 Bieber]

J'ai rien à compris à ce que tu veux faire.
C'est quoi un angle entre deux points ?
Si M1 dépend de theta il faut écrire M1(theta).
Quel est le rapport entre ton système, M1 et M2, et A et B ?

Salut Doraki,

Je modifie : il ne s'agit pas de l'angle entre M1 et M2 mais de l'angle polaire des points M1 et M2.
On utilise une écriture rapide et on n'écrit pas M1(theta) mais M1.
Mon système est créé par produit scalaire (première équation) et (deuxième équation).

Désolé de ne pas avoir été clair.

Quelqu'un m'a finalement expliqué : on a le déterminant de ce système égal à , on simplifie : d'où dans le cas où le déterminant est nul.
On veut que ce déterminant ne vale pas 0 d'où . Or si , nous aurions .
D'où la conclusion.

Maintenant j'ai quelque chose d'un peu plus complexe. On note :
et
J'aimerais voir comment arriver à :

et


Alors je suis passé par une équation du second degré et des transformations trigo mais rien de concluant.

[Doraki]

Donc en fait tu cherches les intersections du cercle de diamètre AB avec les droites passant par O ?

[Doraki]

Et j'imagine que c = 57a/38cos(b) ?

Je vois pas comment passer par l'équation de degré 2 pourrait ne pas marcher.

[Kikoo <3 Bieber]

Et j'imagine que c = 57a/38cos(b) ?

Je vois pas comment passer par l'équation de degré 2 pourrait ne pas marcher.

Non arrête de te moquer de moi

Ben je vois pas, je tombe sur un discriminant qui vaut

[Doraki]

Ben déjà il faut exprimer ab en fonction de c et de ;).

[Kikoo <3 Bieber]

Ben déjà il faut exprimer ab en fonction de c et de .

exact. Je vais faire ça