Géométrie dans l'espace

[sherif]

énoncé1:

démontrer que si dans un tétraèdre OABC le trièdre en O est trirectangle, a désigne la rectiligne du dièdre ( O,BC,A) ,on a: tan²a = tan²OBC + tan²OCA.

énoncé 2:
soient d et d' deux droite situées dans les plans différents et ayant une perpendiculaire commune (OO'). soient A; B deux poinys de d et A', B' les projétées orthogonales de A et B sur d'. Déterminer la position du segment [AB] sur d pour que la somme AA' + BB' soit minimale.

[Pythales]

Qu'est ce que la rectiligne du dièdre (O,BC,A) ?

[chan79]

Qu'est ce que la rectiligne du dièdre (O,BC,A) ?

Salut
C'est l'angle formé par deux plans contenant (BC): celui qui contient O et celui contient A, je pense.
A noter que le projeté orthogonal H de O sur le plan ABC est l'orthocentre du triangle ABC.
Si (AH) coupe (BC) en K, l'angle a est donc OKH.
Ca pourra peut-être aider ...

[Pythales]

Salut
C'est l'angle formé par deux plans contenant (BC): celui qui contient O et celui contient A, je pense.
A noter que le projeté orthogonal H de O sur le plan ABC est l'orthocentre du triangle ABC.
Si (AH) coupe (BC) en K, l'angle a donc OKH.
Ca pourra peut-être aider ...

Soit un repère orthonormè (Oxyz) avec A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,C). En reprenant tes notations, OK.BC=OB.OC. Si on pose h=OK, on voit que .
En remarquant que et on établit la formule

[chan79]

énoncé1:

démontrer que si dans un tétraèdre OABC le trièdre en O est trirectangle, a désigne la rectiligne du dièdre ( O,BC,A) ,on a: tan²a = tan²OBC + tan²OCA.

Ce ne serait pas tan²a = tan²OBA + tan²OCA ?

[Pythales]

Quant au 2ème problème, mon intuition me dit que O doit être le milieu de AB. Mais ...

[chan79]

Quant au 2ème problème, mon intuition me dit que O doit être le milieu de AB. Mais ...

Si A et B sont confondus avec O ????
ou alors faut-il raisonner en supposant que la longueur de [AB] est constante ? Dans ce cas, j'ai la même intuition que Pythales; sans doute que ça peut se faire "par l'analytique", avec pour axe des x la perpendiculaire commune; pour axe des y la droite d'

[hammana]

Quant au 2ème problème, mon intuition me dit que O doit être le milieu de AB. Mais ...

C'est vrai!

Pour le démontrer, dans le plan P passant par d et parallèle à d' mener la droite d1 passant par O et parallèle à d'. A et A' se projettent au même point A1 sur d1. Faites de même pour B. Si la distance AB est constante il en est de même pour A1B1. Les triangles rectangles AA'A1 et BB'B1 sont dans deux plans parallèles perpendiculaires à OO1. Amener par translation A1A' et B1B' sur OO'. A, O, et B sont alors alignés sur une droite du plan P que j'appelle d2, vous êtes ramené aun problème suivant dans le plan.

OO' perpendiculaire à d2 en O. A, B deux points de d2 dont la distance reste constante, la somme O'A+O'B est minimum quand A et B sont symétriques par rapport à O. En effet, supposons OAO'O2. I serait la posotion de B si O est le milieu du segment AB. J'espère que c'est comprèhensible sans figure.

On peut procéder algébriquement.
Soit x l'angle OO'A, y l'angle OO'B. Prenons la distance OO' pour unité. Il faut trouver le minimum de
sachant que tan(x) + tan(y)=une constante. Un simple calcul de dérivée donne sin(x)=sin(y).
C'est plus simple mais moins élégant.