Formule de Stirling

[Florix]

Bonjour,

Avant tout chose, merci de lire cette conversation

En effet l'énoncé est "Soit la suite Xn = somme de k=1 à n de ln k - n ln n + n - 1/2 ln n"

J'ai donc grâce à cette conversation réussit à montrer grâce à abcd22 que xn - xn+1 est équivalent en +oo et que la suite converge. On me demande alors la question suivante :


Dans cette question, on tentera d'établir la formule de Sterling. En vous servant des résultats précédents,
a) Etablir l'existence d'une constante strictement positive C telle que n! soit équivalent en +oo à C (n/e)^n racine (n)
b) Etablir la formule de Stirling, n! équivaut à (n/e)^n racine (2 pi n )



Et la je bloque vraiment :briques: Si vous avez des idées, merci d'avance ! :++:

[abcd22]

Pour le a) c'est presqu'immédiat une fois qu'on sait que xn converge : si , , donc on peut dire que , et regarde à quoi est égal .

[Florix]

e^x/n ? Mais et les n! et tout ce qui va avec comment 'introduise t'il dans l'équation ?

En tout cas merci!

[abcd22]

On a , on utilise la propriété du logarithme : ln(ab) = ln a + ln b, et aussi n = n ln e pour écrire : , et on passe à l'exponentielle.
Pour le b), il n'y a pas d'autres questions avant qui pourraient permettre de trouver la valeur de C ?

[Florix]

Hum dans l'exercice je vois pas trop non c'était les intégrales de Wallis avant, avec l'étude de l'intégrale de 0 à pi/2 de cos x a la puissance n. Etude classique : démontrer que la fonction est décroissante, que In+1 est équivalent à In, trouver Un equivalent à (2n)^p / 2n! si je me souviens bien... bref pas grand chose qui m'aide !

[abcd22]

Ah ben voilà, je pensais justement aux intégrales de Wallis pour trouver la valeur de C ! :happy3:
On a dû vous faire calculer explicitement les valeurs des intégrales, en remplaçant les factorielles qui sont dedans par on trouve un équivalent de , on en déduit la limite de en fonction de C, et on a aussi ...

[Florix]

Ah non point du tout, on nous a pas fait calculer les valeurs des intgrales. On a montré :
- que la suite In est decroissante avec In ) integrale 0 à pi/2 cos x puissance n
- que In=2 = (n+1 / n+2)In
- que I2p = ((2p)! / 2^2p(p!)^2)(pi/2)
- que In est équivalent en +oo à racine de pi / racine de 2(n+1)

Mais en fait faut absolument que je finisse l'exo pour demain, je capte vraiment rien pour savoir comment on fait pour trouver C ! Par contre je voudrais au moins faire la question a mais avec tes calculs deja je vois pas comment on élimine la somme et comment on fait disparaitre les ln car meme en passant à l'exponentielle, je veux bien mais dans ce cas la on a e^Xn or ce que je cherche ùpo c'est Xn !

Si t'as le temps - mais je pense que j'abuse - , tu voudrais pas m'expliciter les calculs ?

En tout cas merci pour tout le reste c'est génial !

[abcd22]

Pour le b) avec ce que tu as ça marche aussi : dans l'expression de tu remplaces les factorielles par , il y a plein de simplifications et on trouve , on a aussi , on en déduit que .

Pour le a) : ,
,
,
et .
En additionnant tout ça et en utilisant encore la propriété du logarithme on a : .

On a montré que la suite convergeait vers une limite , donc converge vers . Comme , ça signifie que et on multiplie par pour avoir l'équivalent de n!.

[Florix]

Vraiment MERCI MERCI MERCI !!!!!

Hélas j'ai du faire des fautes dans mes calculs et je ne les retrouve plus ces fautes, du coup j'ai

I2p = pi racine de 2p / 2^(2p+1) C

Mais vraiment merci merci !!!! J'ai bien compris le principe en tout cas c'est l'essentiel !