Formule de Stirling

[Maths-ForumR]

Bonjour voici mon exercice:

PARTIE B

Soit f la fonction définie par : f(x)= ½ ln (l(1+x)/(1-x) l) –x
1)a. Déterminer l’ensemble de définition de f. f est-elle paire ou impaire.
1)b. Etudier les variations de f.

2) On définit sur ]-1 ;1[, la fonction : g(x)=(x^3)/(3(1-x^2))
a) Montrer que pour tout x appartenant a [0,1[, g(x) >f(x) >= 0

On pose pout tout entier n>0 : Un= [e^((-n)) .n^(n+1/2)]/n! et Vn = Un e^((1/12n))
b) Démontrer que les suites (ln(Un)) et (ln(Vn)) sont monotones, de monotonie contraire, en considérant f(1/(2n+1)) et g(1/(2n+1)).
c) Prouver alors que les suites (Un) et (V) sont adjacentes et que leur limite commune, notée t est non nulle.
On admet (F) : n ! équivalent [(n^n.e^(-n.n))] / t
(dessolé pour l'expression je n'arrive pas a mieux écrire)


PARTIE C :

En utilisant des équivalents justifier que lim (1+;)(1/2n);)^2n) = e.

Utiliser la parie A (on ma fais démontrer l’intégrale de Wallis , le résultat (F) et la question 1) pour obtenir la formule de Stirling : n ! ~ n^n e^(-n) 2;)n

Merci d'avance
.......

[adrien69]

Généralement c'est plutôt (f-g)'(x) qu'il faut calculer (histoire d'avoir un tableau de signe pour f-g et en déduire le résultat).

Ici ça se simplifie super bien essaie.

[Maths-ForumR]

Merci pour la méthode !

Mais je pense avoir fait une erreur car j’obtiens :
(f-g)'(x)=1/9 . [9x -9 -x² + (2x^4/(1-x)²] :/

[paquito]

B
Tu as dû trouver qui est symétrique par rapport à 0;en appliquant une propriété bien connue de ln, tu doit aboutir à f impaire.

Tu dois trouver

Montre que g'(x)-f'(x)=\frac{_2x^2}{3(1-x^2)} et vérifie que g(0)-g(0)=0 pour conclure.

[Maths-ForumR]

Excusez moi mais a quoi correspond : \frac{_2x^2}{3(1-x^2)} ?

Pour f'(x) moi j'ai trouvé : 2x/(1-x²) -1 pourquoi n'avez vous pas le ''-1'' ?

[paquito]

Excusez moi mais a quoi correspond : \frac{_2x^2}{3(1-x^2)} ?

Pour f'(x) moi j'ai trouvé : 2x/(1-x²) -1 pourquoi n'avez vous pas le ''-1'' ?

\frac{-2x^2}{3(1-x^2)}=, mais il y avait une erreur de toutes façons.

Parce que j'ai réduit au même dénominateur et que tu as fait une erreur:

; donc
,donc l'erreur, c'est pour dériver Je te donnerais des indications pour la suite;
tu dois trouver, puis tu calculeras (f-g)(0) et le sens de variation de (f-g) te permettras de conclure.

[Maths-ForumR]

Ah très bien merci

[mathelot]

juste pour dire que la formule de Stirling est démontrée,par exemple, dans le livre
"Les maths en tête: Analyse" de Xavier Gourdon chez Ellipses p 211.

[Maths-ForumR]

Pour la question 2)b. Je n'arrive pas a faire le lien entre (ln(Un)) , (ln(Vn)) et (1/(2n+1)) ; g(1/(2n+1)).

Avez vous une piste ?

[paquito]

Déjà, tu dois montrer que; il y a beaucoup de simplifications évidentes; puis

ensuite, on obtient ;

,

Moi non plus, je ne vois pas comment exploiter et ) !!!!

On a le droit à quoi?

[Maths-ForumR]

Bien je crois qu'il faut prouver qu'elle sont de monotonie contraire grâce a f(1/(2n+1)) et g(1/(2n+1)).

Que voulez vous dire par ''on a la droit a quoi ?'' ?

[paquito]

Ne comprenant rien à la démarche de l'énoncé, je vais utiliser le d.l.d'ordre 3 de .

On a ; doù



d'où , ce qui veut dire que pour n assez grand, sera équivalent à et sera donc positif etsera donc croissante à partir d'un certain rang; ce n'est pas ce qui était demandé, mais le résultat me semble trop fin pour être démontré à partir de f et g.

Pour, c'est encore pire!

En utilisant le d.l. à l'ordre 4, j'obtiens équivalent à et on arrive au résultat quand même à partir d'un certain rang.

Conclusion: l'énoncé me paraît bizarre; comment obtenir des résultats aussi fins avec aussi peu d'outils

[Maths-ForumR]

Oula d'accord et du coup on doit aussi faire ça pour vn ?

[paquito]

Ca ne correspond pas à ce qui est demandé;mais je ne vois pas comment utiliser f etg pour démontrer des trucs aussi délicats; pour, on a .

[paquito]

Déjà, tu dois montrer que; il y a beaucoup de simplifications évidentes; puis

ensuite, on obtient ;

,

Moi non plus, je ne vois pas comment exploiter et ) !!!!

On a le droit à quoi?

Je n'avais pas vu que; fallait le voir!!

[paquito]

Remarques: et sont définies pour et il faudrait dire que ln étant strictement croissante, et ainsi que et l ont les mêmes variations; enfin, on a besoin de suret du fait que pour

Je reprends;

on peut écrire

, car puisque

u_n est donc monotone croissante.

Pour on a l

et .

est donc monotone décroissante.

[Maths-ForumR]

Merci beaucoup j'ai refais tous les calcules et retombe bien sur la même chose que vous :)

pour la partie C on me demande une limite en plus l'infini mais en cours les équivalents sont en 0 donc comment faire ?

[Ben314]

Merci beaucoup j'ai refais tous les calcules et retombe bien sur la même chose que vous

pour la partie C on me demande une limite en plus l'infini mais en cours les équivalents sont en 0 donc comment faire ?

Salut,
Il te suffit, dans la définition de "équivalent", de remplacer x>0 par x->oo, voire plus précisément ici, par n->oo :
Deux suites et sont dites équivalentes (sous entendu en +oo) lorsque

Le +oo sous entendu, on l'écrit quasiment jamais vu qu'on peut pas vraiment faire tendre un entier n vers autre chose que l'infini

[Maths-ForumR]

Merci j'ai réussi a retrouver la limite.

Mais je ne sais pas quoi faire pour la dernière question

[Ben314]

Lorsque tu as calculé les intégrales de Wallis (et pas démontré : c'est des proposition qu'on démontre, c'est à dire des truc Vrai ou Faux. Or une intégrale, c'est pas un truc Vrai ou Faux, c'est un réel)
C'est comme si tu disait "J'ai entendu un truc rouge" : ça déconne...

Enfin bref, lorsque tu as calculé ces intégrales, on a du te demander de montrer qu'une grosse fraction avec des factorielles de partout (des n! et des (2n)!) tendait vers quelque quelque chose.
Maintenant, tu sait (enfin, plutôt on t'a dit d'admettre) que où est une certaine constante.
Tu utilise cet équivalent pour calculer, en fonction de , la grosse limite de la première partie et comme en fait tu connaissait déjà la valeur de la limite, ça va te donner la valeur de , à savoir