Formule de Stirling avec n non entier

[anthony_unac]

Bonjour,

Je cherche à comprendre la formule de Stirling lorsque n'est pas entier en lisant cet article :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Stirling#D.C3.A9veloppement_asymptotique
Y aurait il une erreur dans la formule figurant dans le chapitre "Version continue"
Effectivement, la formule de base de Stirling est donnée par :

Lorsque n'est plus un entier on s'attendrait à avoir :

or l'article indique

Quelque chose m'aurait échappé ?

[anthony_unac]

Après relecture, il semblerait que d'ou le changement de signe que je comprends mieux à présent

[Lostounet]

Après relecture, il semblerait que d'ou le changement de signe que je comprends mieux à présent

Car: (Intégration par parties et x > 0 (si on travaille sur R) ) et ?

Mais après, la démo de Stirling s'adapte-t-elle si facilement au cas "continu" par simple substitution ?
Si ton "z" se balade dans C faut voir comment bien prolonger gamma (quel sens est-ce qu'on peut donner à gamma de z lorsque z n'est pas réel positif)

[anthony_unac]

Merci Lostounet pour ce complément d'information et pour cette mise en garde concernant un passage au continue quelque peu cavalier.
Le but pour moi était simplement de pouvoir exprimer l'expression : d'une autre manière et j'avais pensé à Stirling en posant :

En multipliant par chaque membre, il vient :

On en déduit alors :

Le passage à l'exponentielle (si toutefois c'est autorisé) nous conduit à :

Ce qui ne m'avance pas à grand chose au final (pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué) mais au moins j'aurais tenté !

[Lostounet]

Hello
Qui est p?

Le passage à l'exponentielle (si toutefois c'est autorisé) nous conduit à :

On ne peut pas composer des équivalents à gauche en général. Par contre, pour le cas de l'exponentielle, on a une chance de pouvoir composer;

e^f ~ e^g ssi e^(f)/e^(g) ~ 1 ssi e^(f - g) ~ 1
Donc ssi f - g tend vers 0

Du coup tu dois avoir[ f ~ g et encore (f - g) qui soit o(1) en l'infini] pour assurer le e^f ~ e^g

Mais tu ne l'as pas vérifié sur les horreurs de f et de g que tu as fait apparaitre

[anthony_unac]

Hello
Qui est p?

Du coup tu dois avoir[ f ~ g et encore (f - g) qui soit o(1) en l'infini] pour assurer le e^f ~ e^g
Mais tu ne l'as pas vérifié sur les horreurs de f et de g que tu as fait apparaitre

Salut,

Autant pour moi, j'ai oublié de préciser que désigne un entier premier.
Le passage à l'exponentielle à été fait à l'arrache comme souvent.

[anthony_unac]

Je continue mes horreurs en repartant de la relation :


Je pensais que c'était affreux et voué à l'échec quand soudain j'ai eu 2 idées :

1/ Utiliser le théorème de Wilson :
**************************************
avec une constante entière

2/ Utiliser le petit théorème de Fermat :
********************************************
avec une constante entière

L'expression devient ainsi (sous réserve de ne pas avoir utilisé des théorèmes à tord et à travers) :


En considérant que les constantes et sont très supérieurs à , il vient alors :

Je réduis encore un peu plus le bouillon en notant une constante réelle et l'expression devient :


Aurais je abusé de ci de la d'un raccourci trop court ou autre ou ce résultat est il correct ?

[anthony_unac]

Je continue mes horreurs en repartant de la relation :


Je pensais que c'était affreux et voué à l'échec quand soudain j'ai eu 2 idées :

1/ Utiliser le théorème de Wilson :
**************************************
avec une constante entière

2/ Utiliser le petit théorème de Fermat :
********************************************
avec une constante entière

L'expression devient ainsi (sous réserve de ne pas avoir utilisé des théorèmes à tord et à travers) :


En considérant que les constantes et sont très supérieurs à , il vient alors :

Je réduis encore un peu plus le bouillon en notant une constante réelle et l'expression devient :


Aurais je abusé de ci de la d'un raccourci trop court ou autre ou ce résultat est il correct ?

[anthony_unac]

Juste un petit up pour savoir si mon raisonnement tient la route ou pas ?

[Lostounet]

Aurais je abusé de ci de la d'un raccourci trop court ou autre ou ce résultat est il correct ?

Quel sens tu donnes à l'équivalent?

Pour savoir si f(n) ~ g(n) au voisinage de l'infini, cela équivaut à:
lim f/g (n) = 1

Mais j'ai du mal à voir ce qui se passe pour ton p... comment tend-il vers l'infini? C'est une espèce d'extraction sur N (par exemple, la suite des carrés tend "plus vite que" la suite des (n). Quant à connaître le comportement de la suite des entiers premiers en l'infini.. je ne pourrais pas t'aider.

De toute manière, c'est faux si on remplace tes p par des n (en vérifiant que ça colle avec les hypothèses du petit th. de Fermat).

Car K'* racine(n - 1)/exp(n-1) tend vers 0 et non pas vers 1

Et (question) les constantes ne dépendent-elles pas du choix de p? C'est pas des constantes dans ce cas. Leurs comportements à l'infini m'échappe complètement ...

[anthony_unac]

Oui ce que je pense être une constante est en fait une fonction de p.
De toutes les façon, quand bien même la relation aurait été juste, cela n'aurait pas conduit à grand chose car le stade suivant était le fameux passage à l'exponentielle.