Formule de Moivre

[mehdi-128]

Bonsoir,

J'aimerais savoir si mon raisonnement est juste ou pas.

Je souhaite démontrer la formule suivante :

Pour et on a :



Considérons :

Initialisation :

Au rang on a :
La propriété est vraie au rang

Hérédité :
Supposons que pour fixé dans on ait :

On a :

D'après l'hypothèse de récurrence :



Conclusion : le résultat est démontré par récurrence.

Considérons maintenant avec

On a montré précédemment :

Par passage à l'inverse :

Enfin :

[capitaine nuggets]

Salut !

A vrai dire, je n'arrive pas à me décider si ta démo est correcte ou non. Déjà rien que le début, pourquoi ? Ensuite ce qui me gêne, c'est que lorsque tu veux démontrer l'égalité pour le rang , grâce à l'hypothèse de récurrence, j'ai l'impression que soit tu te sers de l'égalité que tu veux montrer, soit tu raisonnes comme si tu manipulais des réels. Perso, je serai passé par la définition de l'exponentielle complexe mais en fait ça dépend de ce que tu connais ou supposes connu. J'attends donc de voir ce que les autres en pensent.

[Carpate]

J'y vois plutôt une application du produit de 2 complexes et donc de l'élévation à une certaine puissance : m d'un complexe.

[capitaine nuggets]

Oui tu as raison, c'est moi, ça me gêne un peu parce que je n'avais pas vu la démo de cette formule sous cet angle :
- soit on démontrais cette formule sous forme trigonométrique :



puis après on notais pour écrire .

- soit on établissait par récurrence que puis on établissait la formule de De Moivre en comparait modules et argument.

Mais dans les deux cas, normalement on traite d'abord la forme trigonométrique puis exponentielle d'un nombre complexe.

Le truc qui me gêne un peu c'est que n'est qu'une notation et que certaines propriétés relatives à cette notation coïncident bien avec celle de l'exponentielle réelle. Du coup, c'est dur de savoir si la personne en question (pas forcément mehdi-128) sait bien ce qu'elle fait ou si elle tente d'appliquer des propriétés sur un objet similaire à l'exponentielle réelle. Mais là c'est un autre débat