Formule de Héron - Formule d'Euler

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chouette39
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Formule de Héron - Formule d'Euler

par chouette39 » 16 Avr 2015, 20:06

Bonjour,

J'ai les formules suivantes : , et l'équivalent de la formule de Héron : sr²=(s-a)(s-b)(s-c)
Avec A l'aire du triangle ABC, a la longueur du côté opposé à A, b la longueur du côté opposé à B, c la longueur du côté opposé à C, r le rayon du cercle inscrit, R le rayon du cercle circonscrit et le demi-périmètre.

Je souhaiterais avec ces formules, démontrer la formule d'Euler : d²=R²-2rR avec d la distance entre le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit.

Si quelqu'un pouvais m'aider.
Merci !



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Ben314
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par Ben314 » 16 Avr 2015, 20:39

Salut,
Sauf erreur, avec uniquement ça comme "formules", tu es encore assez loin du compte pour montrer que d²==R²-2rR (qui n'est absolument pas du à Euler...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

chouette39
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par chouette39 » 16 Avr 2015, 21:23

Bonjour,
Merci pour votre réponse rapide.

En fait, je ne dois pas utiliser QUE ces formules mais je dois partir de cela puisque Chapple qui est le premier a avoir trouve et prouvé la formule que j'ai dit "d'Euler"... est parti de ceci...

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Ben314
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par Ben314 » 16 Avr 2015, 21:35

A la limite, si tu veut le faire à la bourrin (i.e. par le calcul), tu peut partir du fait que :
- Le centre du cercle inscrit est
- Le centre du cercle circonscrit est


Et, si mes souvenir d'histoire des maths sont corrects, la preuve produite par Chappel était totalement éroné d'un bout à l'autre (seul le résultat était correct)
En fait, sans même s'en rendre compte, il utilisait une version "faible" du Théorème de Poncelet, à savoir que, si deux cercles C et C' sont tels qu'il existe UN triangle circonscrit à C de cercle inscrit C' alors il en existe une infinité et on peut prendre n'importe quel point de C comme point du triangle.
Si on "admet" ce résultat, alors on montre facilement la relation en question en se plaçant dans le cas d'un triangle isocèle (il me semble que c'est ce que Chappel fait)

J'ai lu un truc y'a pas super longtemps là dessus dans un article sur le théorème de Poncelet : je regarde si je te trouve un lien...
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chouette39
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par chouette39 » 17 Avr 2015, 08:27

C'est justement pour un mémoire sur le théorème de Poncelet que je souhaite démontrer la formule de Chapple...
Par ailleurs, si Chapple a utilisé une forme du théorème de Poncelet, ce serait bien avant que Poncelet ne le démontre...
C'est pour ça que je souhaite m'appuyer sur les formules que Chapple a trouvé et sur la formule de Héron...

 

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