Formule déterminant

[mehdi-128]

Bonsoir,

J'ai passé des heures à chercher des cours sur internet, j'ai lu plusieurs preuves et je n'ai pas réussi à comprendre la démonstration (ça va trop vite) de la formule suivante :
J'aimerais réussir à la refaire doucement en comprenant tout.

Soit (e1 ,...,en) une base de E soit (u1,...,un) un n uplet de vecteurs :

Pour tout j dans {1,...,n} :



Merci

[mehdi-128]

Je pars de :



Par linéarité du déterminant :



Je comprends pas à partir d'ici

[Ben314]

Salut,

Par linéarité du déterminant :

Dans le cas où n=2, écrit moi, sans utiliser le symbole "sigma" le premier truc en bleu.
Écrit (ou tout du moins essaye...) d'écrire le second truc en bleu toujours sans utiliser le symbole "sigma" (et toujours pour n=2)

[mehdi-128]

La première expression donne :



La deuxième expression j'ai du mal j'y arrive pas ...

C'est aussi ce qui me bloquait dans la démo j'arrive plus à comprendre les symboles somme quand ils sont sortis de l'application f de R^n

[Pseuda]

Bonjour,

C'est pourtant simple, il suffit d'appliquer la bilinéarité de f, c'est-à-dire la linéarité de f par rapport à chaque variable : avec u et v des vecteurs, et a et b des scalaires :

f(au+bv,a'u'+b'v')=a*f(u,a'u'+b'v')+b*f(v,a'u'+b'v') (linéarité par rapport à la 1ère variable),
puis linéarité par rapport à la 2ème... tu devrais retrouver la formule.

[mehdi-128]

Donc j'obtiens :



Or :

Alors :



Mais je vois comment exprimer avec la formule générale avec la somme pour l'utiliser en dimension n

[Ben314]

Est ce que tu as l'impression que ça (que tu as écrit dans ton premier post):

ça ressemble à ça dans le cas n=2 (ton dernier post) :

Où est le problème ?

[mehdi-128]

Ah d'accord Ben :

Donc ça serait :

Mais en voulant repartir de la somme j'ai du mal comment procéder quand on a 2 sommes multipliées ?

[Ben314]

Ben ça veut (hélas...) dire que tu as toujours pas compris ce qu'était une "variable muette".

Dans , lorsque tu écrit , ben faut absolument comprendre que là dedans, il n'y a pas le moindre vu que .
Et si tu développe, ça donne dans laquelle il n'y a toujours pas le moindre .
Et si cette somme développée, tu veut absolument l'écrire à l'aide d'un symbole , ben tu peut par exemple l'écrire


Toi, face à ça, ça donne plus que l'impression que tu te demande
"Mais où est passé le ? d'où viennent le et le ?"
Alors que la réponse est complètement évidente : il n'y a ni , ni , ni dans vu que c'est simplement ça :

En bref, lorsque tu développe, écrit en Français, ce que tu fait, c'est ça :
On fait tout les produit possible de n'importe quel terme du premier membre par n'importe quel terme du second.
Et j'espère que c'est clair dans ta tête que, bien que ce soit écrit deux fois dans la même phrase la même suite de mots "n'importe quel terme", ben les deux fois, ça ne désigne pas la même chose.
Ben c'est exactement la même chose quand on écrit ça où les truc en bleu et en rouge disent "tout les termes", mais ne désignent pas la même chose, c'est à dire que le du n'a absolument rien à voir avec le du .

[mehdi-128]

D'accord Ben ça marche

J'ai compris le produit de somme :

Mais ce qui me gêne c'est le on peut pas faire le produit de somme basique

[Ben314]

Sauf que là dedans, c'est pas n'importe quoi (sauf bien sûr que tu as "oublié" de le préciser au départ....) : c'est une forme n-linéaire alternée et ça implique un certain nombre de choses concernant les .
Lesquelles ?

[mehdi-128]

f est une forme n-linéaire alternée donc ;


J'ai en appliquant la somme :



Au final j'arrive à :



Donc f sera nulle quand on trouve un i<j tel que : mais comment l'appliquer ici ?

Exemple pour n=2 il va rester :

[mehdi-128]

C'est l'introduction de la permutation ensuite que je comprends pas.