Formes linéaires et loi externe

[Pseuda]

Bonjour,

Soit un e.v. sur . On définit , avec la loi externe définie par: ().

est l'espace vectoriel des formes linéaires de dans .

est l'espace vectoriel des formes linéaires de dans .

Question : la loi externe de est-elle ou ()? Je m'y perds. Je penche pour le 1er. En posant la question, j'y réponds : tout dépend de ce que l'on définit comme loi externe sur . Confirmation ?

Merci d'avance.

[hdci]

En posant la question, j'y réponds : tout dépend de ce que l'on définit comme loi externe sur . Confirmation ?

J'ai l'impression que oui.

La loi externe doit vérifier quelques axiomes :


Et comme ainsi que , le fait de définir comme loi externe est possible, sur n'importe lequel des espaces vectoriels.

[Pseuda]

Merci. Pour toi, on peut donc avoir les 4 cas de figure :

, , , , sans incompatibilité ? Je vais y réfléchir.

[hdci]

Oui, pour moi (sans y avoir réfléchi plus que cela) il y a bien toutes ces possibilités.

Sachant qu'un même ensemble, avec des lois différentes, constitue des espaces vectoriels différents. L'ambiguïté relevant ici du fait qu'on manipule des ensembles "concrets" (usuels) et qu'on définit une opération externe "différente". On peut sûrement trouver des tas d'autres opérations externes qui vérifient les axiomes d'espace vectoriels...

[Mimosa]

Bonjour

En effet, il y a toutes les possibilités, (plus éventuellement d'autres). Voici un exemple frappant: une forme sesquilinéaire sur un -espace vectoriel est une application qui vérifie pour tout et tout




J'ai choisi un côté, je n'ai jamais su s'il faut dire à droite ou à gauche; bien sûr il y a aussi l'autre

[Pseuda]

Bonjour,

Merci. Justement, c'est à propos des formes sesquilinéaires que je pose cette question.

Si on a (sans plus de précision comme c'est dans le cours que j'ai sous les yeux), que diriez-vous :

ou bien ?

Dans le cours, il est dit que car : la 2ème égalité. Je ne suis pas trop d'accord (pour moi, la loi externe doit s'appliquer à gauche et à droite du signe =).

[Pseuda]

Oups, c'est bien car . Donc est bien linéaire (contrairement aux apparences, et pour antilinéaire dans ), avec la loi externe pour (et pour ).

[Mimosa]

Ca a l'air juste. Mais ne te casse pas trop la tête, quand on travaille sur un cas précis ça vient tout seul.

[Pseuda]

Bonsoir,

L'application (la barre sur le est inutile si on précise la loi externe) est linéaire si elle vérifie : (ainsi que l'additivité).

On a bien les 4 cas de figure : loi externe sur , , mais cela n'avait rien à voir avec mon problème ci-dessus (j'ai tout mélangé).

On est dans le cas d'une forme sesquilinéaire sur un espace vectoriel , i.e. telle que (il me semble que c'est la forme actuelle, anciennement le conjugué portait sur la 2ème variable).
Et on s'intéresse à l'application , .
Elle est anti-linéaire pour et linéaire pour .