Forme quadratique définie positive ?

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Fantasi0
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Forme quadratique définie positive ?

par Fantasi0 » 15 Nov 2007, 13:56

Salut !

Je dois démontrer qu'une forme quadratique dans R2

q(x,y) = ax^2 + 2bxy + cy^2

est définie positive si et seulement si a > 0 et b^2-ac > 0
Dois-je résoudre ce problème avec la matrice B associée à la forme bilinéaire b tel que

q(x,y) = b((x,y),(x,y)) > 0 donc ((x,y)^t)B(x,y)>0
Je sais pas trop comment me débrouiller (peut être par l'absurde)

Merci d'avance



le_fabien
Membre Complexe
Messages: 2737
Enregistré le: 05 Oct 2007, 10:00

par le_fabien » 15 Nov 2007, 14:30

pour moi q(x,y)=a(x+by/a)²+-b²y²/a²+cy²/a
q est définie positive si a>0 et cay²-b²y²>0 donc si ca-b²>0
voilà ce que j'ai
bizarre pour ca-b²>0 ! ou j'ai fais une erreur..

Joker62
Membre Transcendant
Messages: 5027
Enregistré le: 24 Déc 2006, 19:29

par Joker62 » 15 Nov 2007, 15:11

En fait, en prenant la matrice de la forme quadratique, on a

M =

(a b)
(b c)

symétrique réelle, donc diagonalisable
Son polynôme caractéristique est : P(X) = X² - (a+c)X + (ac-b²)

ce polynôme admet deux racines réelles si et seulement si
Delta = (a+c)² -4(ac-b²) > 0

Voilà, essaie d'en déduire quelque chose
Moi c'est comme ça que j'vois les choses ;)

Edit : Erreur dans le PC

Fantasi0
Membre Naturel
Messages: 20
Enregistré le: 19 Nov 2006, 16:35

par Fantasi0 » 15 Nov 2007, 15:13

Ah j'ai mal recopié, on doit avoir b^2-ac<0 !
Par contre, comment es-t arrivé à ton q(x,y) ? je n'ai pas la même chose.
Une question qui pourrait être un indice :
On doit avoir une matrice 2x2 dans la relation (v^t) B v (ie : 4 coéfficients) mais dans la donnée, q(x,y) n'en a que trois. Cela veut-il die qu'on peut écrire

B = ({a,b},{b,c}) ?

 

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