Forme quadratique positive

[guillaume100]

Bonjour à tous !
Soit E un espace vectoriel.
Soit q une forme quadratique positive, montrer qu'il existe un endomorphisme u symétrique tel que

Je vois pas comment introduire l'endomorphisme symétrique, je peux avoir un indice svp ?

[aviateur]

Bonjour
Il y a plusieurs non dit dans ta question. Ce qui peut changer la façon de répondre.
E c'est un espace vectoriel sur R ou sur C? Il est muni d'un produit scalaire dont || || est la norme associée?
On est en dimension finie ou pas?
En fin seule l'existence de u compte?

[guillaume100]

Bonjour,
J'avais oublié, E est un espace vectoriel euclidien, donc il est de dimension finie sur R.
Comme il est euclidien, sa norme dérive d'un produit scalaire ?
Ouais, seul l'existence compte ici.

[aviateur]

Bonjour
Alors c 'est bien connu qu' il existe une b.o.n (pour le p.s de E) telle que pour tout x dans E on a
De plus
Alors posons
u définit un endomorphisme qui répond à la question.

[guillaume100]

Merci bien, j'ai compris.

Par contre, comment on montre l'existence de la base de la forme quadratique ?

[aviateur]

C'est bien connu que l'expression de la forme quadratique dans la base s'exprime matriciellement
q(x)=X^t A X où A est symétrique réelle. Je vais pas refaire un cours mais grosso modo, on montre que les vp de A sont réelles (ça se montre facilement en se plaçant dans est utilisant le produit scalaire hermitien) Idem on montre que les sev sont orthogonaux 2 à 2.
Tout vient donc à considérer une b.o.n (e_1,....,e_n) de vecteur propres de A et à écrire q dans cette base.
(En gros c'est une diagonalisation de A qu'on fait )

[guillaume100]

J'ai compris, merci bien !