Bonjour ! Un exercice sur les traces que je n'arrive pas à terminer (il me manque la dernière question, que je ne comprends pas bien...). Si quelqu'un veut s'y pencher cinq minutes... Merci :we:
Soit tr la fonction de
)
dans K qui a une matrice A associe sa trace notée tr(A).
Dans le début de l'exercice, on a montré que :
* tr est une forme linéaire ;
* tr est surjective ;
* tr(AB) = tr(BA) ;
* Si A et B sont semblables, tr(A) = tr(B) ;
* Si A est diagonalisable, tr(A) = somme des valeurs propres de A ;
* Il n'existe pas deux matrices A et B telles que
.
Pour tout couple
 \in [| 1 ; n |]^2)
on désigne par
la matrice de
dont tous les termes sont nuls sauf celui situé en i-ème ligne et en j-ième colonne.
1/ Calculer
pour i, j, k et l élements de
.
Si j est différent de k, alors :
.
Si j = k, alors :
.
2/ Soit f une forme linéaire définie sur
telle que :
Pour tout
 \in (M_n(K))^2, f(AB) = f(BA))
.
Calculer
)
lorsque i est différent de j, puis comparer
)
et
)
. En déduire qu'il existe un élément k de K tel que f = k tr.
Merci de votre aide.
