Forme de fonction fonctionnelle

[mouchacho]

Bonjour, je suis en deuxième année de prépa ECS et je suis tombé sur un exercice qui me pose des difficultés...

soit n>=2. On munit R^n d'un produit scalaire canonique noté <.,.> et d'une norme euclidienne N(.)
Pour résumer nous avons une fonction appartenant à l'intersection de 2 ensembles (I inter H) :
I = [f : R^n -> R tel que quelque soit x de R^n, f(-x)=-f(x)]
H = [f : R^n -> R tel que quelque soit u et v de R^n et =0 , f(u+v)=f(u)+f(v)]

La question est :
Soit g appartient à I inter H. Montrer que g est linéaire.

J'ai réussi à démontrer que quelque soit x appartenant à R^n et pour tout a réel, g(ax)=ag(x)

Mais je n'arrive pas à montrer que quelque soit x et y appartenant à R^n, g(x+y)=g(x)+g(y)...

Merci d'avance pour votre aide.

[Maxmau]

Bonjour, je suis en deuxième année de prépa ECS et je suis tombé sur un exercice qui me pose des difficultés...

soit n>=2. On munit R^n d'un produit scalaire canonique noté et d'une norme euclidienne N(.)
Pour résumer nous avons une fonction appartenant à l'intersection de 2 ensembles (I inter H) :
I = [f : R^n -> R tel que quelque soit x de R^n, f(-x)=-f(x)]
H = [f : R^n -> R tel que quelque soit u et v de R^n et =0 , f(u+v)=f(u)+f(v)]

La question est :
Soit g appartient à I inter H. Montrer que g est linéaire.

J'ai réussi à démontrer que quelque soit x appartenant à R^n et pour tout a réel, g(ax)=ag(x)

Mais je n'arrive pas à montrer que quelque soit x et y appartenant à R^n, g(x+y)=g(x)+g(y)...

Merci d'avance pour votre aide.

bj
x et y vecteurs quelconques
Ecris y sous la forme y = ax + u avec u orthogonal à x

[mouchacho]

bj
x et y vecteurs quelconques
Ecris y sous la forme y = ax + u avec u orthogonal à x

g(x+y)=g(x+ax+u)=g((a+1)x+u)=(a+1)g(x)+g(u)... je ne vois pas comment retomber sur g(x)+g(y) à partir de là.

Néanmoins votre réponse m'a inspiré :we: . En posant une base orthonormée de R^n (e1,...,en) il existe (a1,...,an) appartenant R^n et (b1,...,bn) de R^n tel que :
x = Somme (ai*ei)
y = Somme (bi*ei)
g(x+y) = g(Somme (ai*ei)+Somme (bi*ei))
= Somme(g((ai+bi)ei))
= Somme((ai+bi)g(ei))
= Somme(ai*g(ei)) + Somme(bi*g(ei))
= g(Somme(ai*ei)) + g(Somme(bi*ei))
= g(x) + g(y)

Merci. :lol3:

[Maxmau]

g(x+y)=g(x+ax+u)=g((a+1)x+u)=(a+1)g(x)+g(u)... je ne vois pas comment retomber sur g(x)+g(y) à partir de là.

Néanmoins votre réponse m'a inspiré :we: . En posant une base orthonormée de R^n (e1,...,en) il existe (a1,...,an) appartenant R^n et (b1,...,bn) de R^n tel que :
x = Somme (ai*ei)
y = Somme (bi*ei)
g(x+y) = g(Somme (ai*ei)+Somme (bi*ei))
= Somme(g((ai+bi)ei))
= Somme((ai+bi)g(ei))
= Somme(ai*g(ei)) + Somme(bi*g(ei))
= g(Somme(ai*ei)) + g(Somme(bi*ei))
= g(x) + g(y)

Merci. :lol3:

Ok
mais c'était bien facile de conclure avec mes indic: g(y) = g(ax+u)=a g(x) + g(u)
d'où la conclusion (en utilisant ce que tu as déjà écrit)