Fonctions à plusieurs variables

par **minidiane** » 12 Juin 2007, 07:36

Bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice pouvez-vous m'aidez svp? Merci

1) Soit D le triangle de sommet (0,0) , (a,0) , (0,a). Calculer l'intégrale double
de exp(-(x+y)²)dxdy.
Indication: on pourra utiliser le changement de variable u=x+y , v=x.

2) Soit D={(x,y) appartenant à R²: y²<=x<=pi y}. Calculer l'intégrale double de cos x/ydxdy.

pour le 1) j'ai donc utilisé le changement de variable et j'obtiens double intégrade 0 à a de exp(-u²)dudv et là je suis bloqué.
Pour le 2) je ne vois pas du tout comment faire.

par **thomasg** » 12 Juin 2007, 09:25

Bonjour,

j'avance doucement car mes souvenirs sont loins,

tout d'abord pour le 1 tu obtiens l'intégrale de -exp-u² (tu avais oublié le déterminant de la matrice jacobienne.

Pour la suite je dois encore chercher.

A bientôt.

par **minidiane** » 12 Juin 2007, 11:33

ok merci pour ce début de réponse

par **thomasg** » 12 Juin 2007, 12:20

Pour la suite de la question on est amené à travailler sur l'intégrale de Gauss.
On a je crois uniquement des approximation par série entiere.

A bientôt.

Ps: si quelqu'un veut bien se pencher sur ce problème pour confirmer ou infirmer mes dires. Merci.

par **Joker62** » 12 Juin 2007, 12:32

On multiplie par la valeur absolue du déterminant de la jacobienne donc +1 c'est correct non ?

Ensuite, tu as oublier de changer ton domain d'intégration, car bon, ça reste pas pareil.

On a au début ( avec les x et y )

x [0;a] 1)
0 <= y <= a-x 2)

Donc d'après 2)

0+x <= y+x <= a => v <= u <= a

On a donc v qui varie entre 0 et a
et u qui varie entre a et v

En fait, ton triangle de départ se transforme en triangle de sommet (0,0) (a,0), (a,a)

par **thomasg** » 12 Juin 2007, 12:46

bonjour,

merci pour l'erreur sur la jacobienne... mes souvenirs sont loins.

Pour le domaine d'intégration, ne serai-ce pas plutôt le rectangle (0;0) (0;a) (a;a) (a;0) ?

A bientôt.

Ps: j'ai du mal à suivre tes notations Joker.

par **Joker62** » 12 Juin 2007, 13:16

Et bien je suis parti du triangle de base

On a bien x qui varie entre 0 et a
Et y qui varie entre 0 et a-x. ( Pour x fixé )

Donc on a 0 <= x <= a
et 0 <= y <= a-x

Dans la deuxième
0+x <= x+y <= a-x+x <=> x <= u <= a <=> v <= u <= a

On a bien v qui varie entre 0 et a ( par définition ( ie x = v) )
Et u qui varie entre v et a

Donc le dessin, on a v en abscisse qui varie entre 0 et a
Et u en ordonnée qui varie entre v et a :^)
Enfin j'me plante peut-être lol

par **minidiane** » 12 Juin 2007, 17:46

C'est bien un triangle.
Donc si je comprend bien on obtient intégrale de 0 à a intégrale de v à a de -exp(-u²)dudv.
Est-ce bien cela?

par **thomasg** » 12 Juin 2007, 19:08

Comme l'a signalé joker, le -1 que je te proposai n'est pas valable car on considère la valeur absolue du déterminant de la jacobienne.

Pour le triangle il a à nouveau raison.

Peut-être que sur l'intégrale de Gauss je me suis pas planté, mais cela m'étonnerai.

Je vais donc aller me replonger dans des cours, et mes excuses si je vous ai fait perdre votre temps.

Au revoir.

par **fahr451** » 12 Juin 2007, 19:20

l'intérèt du changement de variables et qu 'en intégrant par "piles"

u fixé dans [0,a] v varie entre 0 et u l'intégrale par rapport à v de la constante exp (-u^2) donne u exp(-u^2) qui s'intègre ensuite fort bien par rapport à u
pas de gaussienne à considérer.

par **minidiane** » 13 Juin 2007, 10:29

Je ne comprend plus rien quelqu'un peut me réexpliquer svp?
Merci

par **Joker62** » 13 Juin 2007, 12:05

En gros Fahr t'as dit d'utiliser Fubini :D

par **minidiane** » 13 Juin 2007, 12:16

ok merci jocker je vais essayer cela alors.

par **minidiane** » 13 Juin 2007, 13:42

J'y arrive pas du tout quelqu'un peut m'aider?

par **Joker62** » 13 Juin 2007, 14:15

Si j'reprend les notations de Fahr

pour u fixé dans [0;a] v varie entre 0 et u

Donc

T'arrives pas à finir ?

par **thomasg** » 13 Juin 2007, 14:19

Rebonjour,

je peux toujours essayer de te redire ce qu'ont très bien expliqué fahr et joker,

après avoir fait le changement de variable, tu obtiens

0§a (0§u(exp(-u²)dV)du (avec fubini)

en calculant l'intégrale intérieure, dans laquelle exp(-u²) est une constante on obtient

0§a(u*exp(-u²))du

La suite devrait t'être facile.

A bientôt.

par **thomasg** » 13 Juin 2007, 14:21

uexp(-u²) dans la dernière intégrale (simple erreur de frappe)

par **minidiane** » 13 Juin 2007, 14:22

Non je n'arrive pas à finir c'est le u qui me dérange.

par **thomasg** » 13 Juin 2007, 14:25

Bonjour,

on obtient

0§a(uexp(-u)²)du

-exp(-u)²/2 doit être une primitive je crois.

A bientôt.

par **minidiane** » 13 Juin 2007, 14:34

J'ai pas très bien compris comment tu as obtenue ça, peux tu m'expliqué stp?

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