Fonctions continues
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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OrsayMPI
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par OrsayMPI » 05 Aoû 2013, 17:47
Bonjour,
Je travaille actuellement un cours sur les fonctions continues et il y a une partie que je n'arrive pas à comprendre.
Ca dit :
La fonction f : R dans R définie par f(x) = x² est continue sur R. En effet, si a appartient à R, on a :
| f(x) - f(a) | = | x - a | | x + a | <= | x - a |² + 2|a||x - a|
D'où sort le | x - a |² + 2|a||x - a| ? Pourquoi ont - ils mit ça et pas (| x - a | | x + a |)² ou autre chose par exemple ? Pourquoi cette valeur là ?
Ensuite, ça dit :
Soit Epsilon > 0. On a :
| x - a | < inf ( 1, epsilon / ( 2|a| + 1) IMPLIQUE | f(x) - f(a) | < Epsilon
Je n'ai absolument rien compris. D'abord pourquoi | x - a | < inf ( 1, epsilon / ( 2|a| + 1) et ensuite en quoi l'un applique l'autre.
Merci d'avance pour votre aide.
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chan79
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par chan79 » 05 Aoû 2013, 17:58
OrsayMPI a écrit:Bonjour,
Je travaille actuellement un cours sur les fonctions continues et il y a une partie que je n'arrive pas à comprendre.
Ca dit :
La fonction f : R dans R définie par f(x) = x² est continue sur R. En effet, si a appartient à R, on a :
| f(x) - f(a) | = | x - a | | x + a | 0. On a :
| x - a | < inf ( 1, epsilon / ( 2|a| + 1) IMPLIQUE | f(x) - f(a) | < Epsilon
Je n'ai absolument rien compris. D'abord pourquoi | x - a | < inf ( 1, epsilon / ( 2|a| + 1) et ensuite en quoi l'un applique l'autre.
Merci d'avance pour votre aide.
salut
vois avec x+a=x-a+2a
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Nightmare
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par Nightmare » 05 Aoû 2013, 18:20
Pour montrer la continuité de f(x) en a on veut pouvoir montrer qu'on peut rendre la distance entre f(x) et f(a) aussi petite qu'on veut en choisissant x suffisement proche de a, on est donc amené à travailler la quantité |f(x)-f(a)| à l'aide de la quantité |x-a| ( |a - b| représentant la distance entre a et b ) d'où l'idée de faire apparaître cette dernière quantité et regarder comment la choisir pour rendre la première inférieure à n'importe quelle valeur fixée à l'avance ( epsilon ).
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OrsayMPI
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par OrsayMPI » 05 Aoû 2013, 19:38
Merci, grâce à vous deux j'ai réussis à comprendre une grosse partie. Cependant je bloque toujours sur le
| x - a | < inf ( 1, epsilon / ( 2|a| + 1) IMPLIQUE | f(x) - f(a) | < Epsilon
Comment arrive - t - on à déterminer que | x - a | < inf ( 1, epsilon / ( 2|a| + 1) ?
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chan79
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par chan79 » 05 Aoû 2013, 23:18
[quote="OrsayMPI"]Merci, grâce à vous deux j'ai réussis à comprendre une grosse partie. Cependant je bloque toujours sur le
| x - a | 0
supposons que |x-a| soit plus petit que 1 et que

on a les inégalités:


comme tous les termes sont positifs, on peut multiplier membre à membre
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Nightmare
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par Nightmare » 06 Aoû 2013, 02:46
OrsayMPI a écrit:Merci, grâce à vous deux j'ai réussis à comprendre une grosse partie. Cependant je bloque toujours sur le
| x - a | < inf ( 1, epsilon / ( 2|a| + 1) IMPLIQUE | f(x) - f(a) | < Epsilon
Comment arrive - t - on à déterminer que | x - a | < inf ( 1, epsilon / ( 2|a| + 1) ?
On ne le détermine pas, on suppose qu'on l'a.
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deltab
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par deltab » 06 Aoû 2013, 04:46
Bonjour.
Dans ce genre de calcul,

montrer que
)
, on démarre de
-\mathcal{l}|)
et on essaie par majoration successives à avoir
-\mathcal{l}| \le M |x-a|)
. On peut être amené a faire des majorations de

du type

afin de majorer certaines expressions dans les majorations successives de
-\mathcal{l}|)
. En prenant

, on aura:
-\mathcal{l}|< M|x-a|< M \frac{\epsilon}{M}= \epsilon)
.

n'est valable que l'on tient compte des majorations faites sur

.
Si on avait émis l'hypothèse

, il faudra changer

et prendre
Reprenons l'exemple  - f(a) | = | x - a | | x + a | \le | x - a |^2 + 2|a||x - a|)
Si l'on suppose que

, alors

et
 - f(a) | = | x - a | | x + a | \le | x - a |^2 + 2|a||x - a| \le | x - a | + 2|a||x - a|=| x - a |(1 + 2|a|))
Pour avoir
 - f(a) | < \epsilon)
, il suffit que
< \epsilon)
et pour cela prendre
Remarques:On aurait pu supposer que

et dans ce cas

et
 - f(a) | = | x - a | | x + a | \le | x - a |^2 + 2|a||x - a| \le A| x - a | + 2|a||x - a|=| x - a |(A + 2|a|))
.
On prendra dans ce cas
)
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Paulinepan
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par Paulinepan » 06 Aoû 2013, 08:23
deltab a écrit:Bonjour.
Dans ce genre de calcul,

montrer que
)
, on démarre de
-\mathcal{l}|)
et on essaie par majoration successives à avoir
-\mathcal{l}| \le M |x-a|)
. On peut être amené a faire des majorations de

du type

afin de majorer certaines expressions dans les majorations successives de
-\mathcal{l}|)
. En prenant

, on aura:
-\mathcal{l}|< M|x-a|< M \frac{\epsilon}{M}= \epsilon)
.

n'est valable que l'on tient compte des majorations faites sur

.
Si on avait émis l'hypothèse

, il faudra changer

et prendre
Reprenons l'exemple  - f(a) | = | x - a | | x + a | \le | x - a |^2 + 2|a||x - a|)
Si l'on suppose que

, alors

et
 - f(a) | = | x - a | | x + a | \le | x - a |^2 + 2|a||x - a| \le | x - a | + 2|a||x - a|=| x - a |(1 + 2|a|))
Pour avoir
 - f(a) | < \epsilon)
, il suffit que
< \epsilon)
et pour cela prendre
Remarques:On aurait pu supposer que

et dans ce cas

et
 - f(a) | = | x - a | | x + a | \le | x - a |^2 + 2|a||x - a| \le A| x - a | + 2|a||x - a|=| x - a |(A + 2|a|))
.
On prendra dans ce cas
)
Bonjour,
C'est très compliqué!
Je ne peux pas répondre.
cadeau de no;)l
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