Espace complet fonctions continues.

[HanZel]

Bonjour,

Je débute en topo et je voulais savoir pourquoi ce qui suit :

On considère .
Muni de la norme infini est complet.
Et muni de la norme 1 n'est pas complet.
Je ne dois pas avoir bien compris ce que signifie "complet" parce que pour moi les deux me semblaient complets. :happy2: (En particulier sur le fait que le sup de |f| sur [0;1] et l'intégrale sur [0;1] de |f| sont des valeurs de donc je crois que j'interprète mal les définitions et être à coté de la plaque...).
Pourriez vous alors me dire pourquoi le premier est complet et pas le second.

Je vous remercie.

HanZel.

[ThSQ]

Le problème se situe au niveau de la continuité. Une limite uniforme de fonctions continues (= pour la norme 1) est continue.

C'est facile de construire une suite de Cauchy de fonctions pour la norme 2 de fonctions continues qui n'est pas convergente (la limite ne serait pas continue) : prendre f_n = 0 sur 0..1/2-1/n, 1 sur 1/2+1/n..1 + raccordement affine = rampe de + en + pentue.

Pas complet ça veut dire qu'il reste des trous au niveau de la convergence.