Fonctions continues sur un intervalle

[elmhaidara]

Bonsoir...
Je suis tout nouveau sur ce forum. Je m'appel Mohamed El M. HAIDARA, étudiant en L1 mats-info à Lyon.

Voilà j'ai un petit exercice sur la continuité qui me pose quelques problèmes :mur: . Voilà l'énoncé:

Soit f: ]0; +00[ -> R une application ayant les propriétés suivantes: f est continue au point 1 et pour tous x, y on a f(xy)=f(x)+f(y).
1. Montrer que f(1)=0 et f(1/x)=-f(x)
2. Montrer que f est continue sur ]0; +00[

J'ai un peu cherchez sur le forum des exercices du même, mais ça ma pas beaucoup aider...

J'ai fait la première question mais c'est la 2e qui me bloque un peu, je ne vois pas du tout quel chemin prendre en fait.
Quelqu'un aurait-il la gentillesse de m’éclairer un peu? :we:
Merci d'avance

[Anonyme]

@elmhaidara

1) si on pose alors comme on a donc

2) Pose y=1/x pour la 2ième égalité...

3) Connais tu la définition d'une fonction f est continue en x (puis sur un intervalle I de IR )?

[Manny06]

Bonsoir...
Je suis tout nouveau sur ce forum. Je m'appel Mohamed El M. HAIDARA, étudiant en L1 mats-info à Lyon.

Voilà j'ai un petit exercice sur la continuité qui me pose quelques problèmes :mur: . Voilà l'énoncé:

Soit f: ]0; +00[ -> R une application ayant les propriétés suivantes: f est continue au point 1 et pour tous x, y on a f(xy)=f(x)+f(y).
1. Montrer que f(1)=0 et f(1/x)=-f(x)
2. Montrer que f est continue sur ]0; +00[

J'ai un peu cherchez sur le forum des exercices du même, mais ça ma pas beaucoup aider...

J'ai fait la première question mais c'est la 2e qui me bloque un peu, je ne vois pas du tout quel chemin prendre en fait.
Quelqu'un aurait-il la gentillesse de m’éclairer un peu? :we:
Merci d'avance

il faudrait montrer que f(a+h)-f(a) tend vers 0 quand h tend vers 0
peut-être poser h=a/n quand n tend vers + infini h tend vers 0
et f(a+a/n)=f(a)+f(1+1/n) on se ramène amors à la continuité en 1

je te laisse terminer

[elmhaidara]

oui une fonction est continue en est un point a si limite de f en a existe et est égale à f(a). Elle est continue sur un intervalle si elle l'est en tout point de l'intervalle. Mais comment le démontrer??

[Manny06]

oui une fonction est continue en est un point a si limite de f en a existe et est égale à f(a). Elle est continue sur un intervalle si elle l'est en tout point de l'intervalle. Mais comment le démontrer??

en faisant ce que je t'ai indiqué

[elmhaidara]

oui certes mais je ne comprends pas te démarche, ton raisonnement?

[adrien69]

il faudrait montrer que f(a+h)-f(a) tend vers 0 quand h tend vers 0
peut-être poser h=a/n quand n tend vers + infini h tend vers 0
et f(a+a/n)=f(a)+f(1+1/n) on se ramène amors à la continuité en 1

je te laisse terminer

Par contre là tu montrerais la continuité à droite. Il ne faut pas oublier de regarder aussi la continuité à gauche.

[chan79]

Par contre là tu montrerais la continuité à droite. Il ne faut pas oublier de regarder aussi la continuité à gauche.

salut
on peut écrire
quand x tend vers a, alors x/a tend vers 1 et f(x/a) tend vers f(1)=0 et donc, f(x) tend vers f(a)
f est continue en a ( avec a différent de 0)

[Anonyme]

@elmhaidara

Question supplémentaire : Cette fonction n'est pas définie en x=0

Peut-on la prolonger par continuité en 0 ?

[adrien69]

Questions supplémentaires :
1)Montrer que f est dérivable sur ]0,+inf[
2)En déduire la forme de f
3)Comment donner la forme de f sans passer par la dérivabilité ?

[Anonyme]

Questions supplémentaires :
1)Montrer que f est dérivable sur ]0,+inf[
2)En déduire la forme de f
3)Comment donner la forme de f sans passer par la dérivabilité ?

1) Montrons que la limite de quand h tend vers 0 existe pour tout

comme
on a donc
qui tend vers une Forme Indéterminée de type quand h tend vers 0

donc il faut trouver "autre chose" pour démontrer la dérivabilité de la fonction sur ]0,+inf[....

[adrien69]

1) Montrons que la limite de quand h tend vers 0 existe pour tout

comme
on a donc
qui tend vers une Forme Indéterminée de type quand h tend vers 0

donc il faut trouver "autre chose" pour démontrer la dérivabilité de la fonction sur ]0,+inf[....

Ouep, pense à l'intégration et utilise la continuité.

[chan79]

@elmhaidara

Question supplémentaire : Cette fonction n'est pas définie en x=0

Peut-on la prolonger par continuité en 0 ?

salut
En tous cas, on ne peut pas pour la fonction ln

[adrien69]

Questions supplémentaires :
1)Montrer que f est dérivable sur ]0,+inf[
2)En déduire la forme de f
3)Comment donner la forme de f sans passer par la dérivabilité ?

Je viens de me rendre compte que la troisième question, brute de décoffrage, est assez violente.
J'ai des questions intermédiaires en tête si besoin. Mais je ne les donne que sur demande.

[adrien69]

@elmhaidara

Question supplémentaire : Cette fonction n'est pas définie en x=0

Peut-on la prolonger par continuité en 0 ?

J'ai une rédaction possible.



SPOIL !

































--------------------------------------------------------------------------

Pour tout de si f est prolongeable par continuité soit a la valeur de son prolongement.

On a (critère séquentiel de la continuité)

or pour tout n, qui ne converge que si f(x)=0. Donc si f admet un prolongement en 0, f est nulle sur ]0,1[ (et par continuité en 1, f est bien nulle en 1, mais ça on le savait, c'est juste rassurant)
or pour tout x réel non nul, f(1/x)=-f(x)
On en déduit alors f est nulle sur ]0,inifini[

Réciproquement, f=0 vérifie bien toutes les hypothèses et est prolongeable en 0.

CQFD

[Anonyme]

Ouep, pense à l'intégration et utilise la continuité.

Salut

ce n'est que ma 2ième tentative de démonstration

=================================================

Montrons que la fonction est dérivable sur ]0,+inf[

On sait que la fonction est continue sur ]0,+inf[

donc la fonction définie sur ]0,+inf[ et définie par est une fonction continue et dérivable
De plus on a
La fonction est LA primitive de la fonction qui s'annule en 1 car on a :

or on a donc

donc expression (E)

Si on a :


Remarque 1 : si on fait tendre vers , comme tend vers

et on a bien


Remarque 2 :
L'expression (E) "devrait suffire" pour démontrer la dérivabilité de la fonction sur ]0,+inf[
car le membre de gauche de l'expression (E) est une "expression algébrique de fonctions dérivables" ET est dérivable par rapport à la variable


Remarque 3 :

Si on a également :

On "pourrait peut être" également utiliser la théorème de la moyenne car on a également

- Comme est continue sur [1 , x] ( ou sur [x , 1] ) , on sait ( ou sur [x , 1] ) tel que
et
- Comme est continue sur [y , xy] ( ou sur [xy , y] ) , on sait ( ou sur [xy , y] ) tel que

donc si on obtient

DE PLUS si on pose et avec et on obtient :



ET on obtient que


Conclusion :
je n'arrive pas à calculer une expression de la fonction dérivée



ps)
Autre solution :

On peut démontrer que seules les fonctions de type fonction logarithme à base
sont solutions de l'équation fonctionnelle sur R+* : f(xy)= f(x)+f(y)

[adrien69]

Ça marche sauf en x=1, mais pour éviter ce problème il te suffit d'intégrer à partir d'un autre point.
Ton autre solution est la question 3.
Pour la question 2 dérive selon x dans f(xy)=f(x)+f(y) puis pose x=1