Fonctions composées

[barbu23]

Bonjour,

Bonjour, Je bute sur l'exo suivant :

On note : l'espace des matrices carrées d'ordre muni de la norme :

pour tout :
et la norme euclidienne de pour tout
Soit .
On pose :

Montrer que est différentiable sur et calculer sa différentielle.

Merci pour votre aide.

[barbu23]

: est differentiable car le determinant est une fonction polynomiale, par conséquant : est differentiable sur et est differentiable sur ( evident ) et est differentiable sur
Par conséquent est differentiable sur comme composée de ces applications differentiables.
Comment calculer la differentielle ?
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

On pose :



Alors :

i.e :

Par conséquent :
:

[barbu23]

Maintenant , il faut calculer :
C'est à dire, il faut trouver la differentielle de l'application determinant :
Voiçi la demonstration en detail ( démonstration tiré d'un site internet ( je ne me souviens pas de son URL ) ) :
- Calcul de la differentielle de :
- - Calcul de lorsque est diagonale :
Soit $ H $ une matrice carrée , diagonale d'ordre :
Alors :



avec :

Comme :
alors :
quant
D'où :

Calcul de quant est quelconque.
On pose :

avec :

Or :
avec :
quant
D'après un calcul pas trop compliqué, on arrive à la conclusion suivante :

D'où :
quant
En posant :

On obtient :

et
quant
L'application : est linéaire, donc, continue car est de dimension finie.
Par conséquent :

- - - Calcul de la differentielle de avec :
On a :
, :





avec :

L'aplication : est linéaire donc continue, car la dimension de est finie.
et à l'aide d'une simple majoration, on obtient :
quant
Par conséquent est differentiable en de differentielle

Pouvez vous m'aider pour la suite ? :happy3:
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

svp, si le determinant de l'application : a pour differentielle :
Quelle est la differentielle de l'application :
Je pense que c'est :

Correct ou non ?

Merci pour votre aide.